[論文レビュー] 2D cellular automata: dynamics and undecidability

Enrico Formenti, Alberto Dennunzio+1 more|ArXiv.org|Jun 4, 2009

Cellular Automata and Applications参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元セルオートマトン（CA）における動的性質として、準拡張性（quasi-expansivity）と準感受性（quasi-sensitivity）を導入し、1次元CAの概念を高次元へ拡張する。スライシング構成を用いて、準拡張性を示す2次元CAは無限大の位相的エントロピーを持つことを証明し、準感受性と準ほぼ等連続性の間で二分法が成り立つことを示した。特に、2次元CAにおける閉性（closingness）の決定不能性を示し、先行研究の誤りを是正し、1次元CAとは異なり次元に依存する重要な相違点を浮き彫りにした。

ABSTRACT

In this paper we introduce the notion of quasi-expansivity for 2D CA and we show that it shares many properties with expansivity (that holds only for 1D CA). Similarly, we introduce the notions of quasi-sensitivity and prove that the classical dichotomy theorem holds in this new setting. Moreover, we show a tight relation between closingness and openness for 2D CA. Finally, the undecidability of closingness property for 2D CA is proved.

研究の動機と目的

• 1次元CAから2次元CAへの拡張において、古典的 notions が失敗するため、拡張性や感受性といった動的概念を2次元CAへと拡張すること。
• 広範な応用が見られるにもかかわらず、2次元CAの動的挙動に対する体系的かつ包括的な研究が不足している現状を是正すること。
• 1次元CAにおける古典的二分法（感受性と等連続性の二分）が2次元CAでは成立しないことの原因を解消するため、スライシングを用いて準感受性を定義すること。
• 2次元CAにおける閉性の決定不能性を証明し、文献に記載された過去の誤りを是正すること。

提案手法

• 2次元格子 ℤ² 上の方向ベクトル ν 沿いの方向的ダイナミクスを用いて、正の拡張性を一般化した準拡張性の概念を導入する。
• スライシング構成を用いて、2次元CAの特定方向 ν におけるダイナミクスを、配置の系列上での1次元CAのダイナミクスに還元する。
• スライスされた系と1次元サブシフトとの位相的同相性を用いて、エントロピーおよび動的性質を分析する。
• タイリングに基づく構成と平面を埋め尽くす曲線を用いて、閉性の決定不能性を証明し、Kariの手法を一般化する。
• 記号的ダイナミクスの結果（例：双方向閉じるCAは開写像である）を活用し、構造的性質を導出する。
• スライシング法を用いて、準ほぼ等連続性と準感受性の間の二分法を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の拡張性が存在しない2次元CAにおいて、拡張性の概念を意味的に拡張することは可能か？
• RQ2 スライシングを用いて感受性を再定義した場合、2次元CAにおいて感受性と等連続性の二分法は維持されるか？
• RQ3 2次元CAにおける閉性と開性の関係は何か？1次元CAの挙動と類似しているか？
• RQ4 2次元CAにおける閉性の性質は決定可能か？1次元CAにおける決定可能である事例と比較するとどうなるか？
• RQ5 準拡張性を示す2次元CAの位相的エントロピーは何か？これは無限大の複雑性を反映しているか？

主な発見

• 準拡張性を示す2次元CAは存在し、正に拡張性を持つ1次元CAと同様に、無限大の位相的エントロピーといった重要な性質を共有する。
• 任意の準拡張性2次元CAの位相的エントロピーは無限大であることが、増加するエントロピーを持つ1次元サブシフトとの同相性を用いて証明された。
• 準ほぼ等連続性と準感受性の間には二分法が成立する：2次元CAは、準ほぼ等連続性を満たすか、かつその場合に限り、準感受性ではない。
• 双方向閉じる2次元CAは開写像であり、その結果、準拡張性2次元CAも開写像であることが示された。
• 2次元CAにおける閉性の性質は決定不能であり、文献に記載された過去の誤りを是正し、次元依存の重要な相違点を明確にした。
• 決定不能性の証明には、Kariの手法を一般化したタイリング構成が用いられ、2次元CAダイナミクスの複雑性を裏付けた。