[論文レビュー] 2D Schrodinger Operator, (2+1) Systems and New Reductions. The 2D Burgers Hierarchy and Inverse Problem Data

P. G. Grinevich, А. Миронов+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2次元シュレーディンガー作用素に基づく(2+1)次元可積分階層であるGKMMNシステムを導入し、その2次元バーガース還元が重要な可積分系であることを特定する。代数幾何的データを用いたリーマン面における2次元シュレーディンガー作用素の新しい逆スペクトル理論を確立し、2次元バーガース階層が特定のバーグャー＝アキエイツ関数を有する可約リーマン面から生じることを証明するとともに、スペクトルデータを用いた自己随伴磁気パウリ作用素との整合性を示す。

ABSTRACT

The Theory of (2+1) Systems based on 2D Schrodinger Operator was started by S.Manakov, B.Dubrovin, I.Krichever and S.Novikov in 1976. The Analog of Lax Pairs introduced by Manakov, has a form $L_t=[L,H]-fL$ ("The $L,H,f$-triples") where $L=\partial_x\partial_y+G\partial_y+S$ and $H,f$-some linear PDEs. Their Algebro-Geometric Solutions and therefore the full higher order hierarchies were constructed by B.Dubrovin, I.Krichever and S.Novikov. The Theory of 2D Inverse Spectral Problems for the Elliptic Operator $L$ with $x,y$ replaced by $z,\bar{z}$, was started by B.Dubrovin, I.Krichever and S.Novikov: The Inverse Spectral Problem Data are taken from the complex "Fermi-Curve" consisting of all Bloch-Floquet Eigenfunctions $Lψ=const$. Many interesting systems were found later. However, specific properties of the very first system, offered by Manakov for the verification of new method only, were not studied more than 10 years until B.Konopelchenko found in 1988 analogs of Backund Transformations for it. He pointed out on the "Burgers-Type Reduction". Indeed, the present authors quite recently found very interesting extensions, reductions and applications of that system both in the theory of nonlinear evolution systems (The Self-Adjoint and 2D Burgers Hierarhies were invented, and corresponding reductions of Inverse Problem Data found) and in the Spectral Theory of Important Physical Operators ("The Purely Magnetic 2D Pauli Operators"). We call this system GKMMN by the names of authors who studied it.

研究の動機と目的

• 2次元シュレーディンガー作用素とそのLax三重項形式に基づく新しい(2+1)次元可積分系のクラスの構築を目的とする。
• GKMMNシステムの自然な還元としての2次元バーガース階層の同定と特徴付けを目的とする。
• リーマン面上の代数幾何的逆スペクトルデータと非線形発展系の全階層との間の関係を確立することを目的とする。
• 2次元パウリ作用素におけるスピン1/2粒子の文脈で、2次元バーガース系が自己随伴楕円作用素と整合することを示すこと。
• 逆問題のスペクトル的意味、特にフェルミ曲線とブロッホ＝フロケ関数の役割を明確化すること。

提案手法

• 本稿では、作用素 $L = \partial_x\partial_y + G\partial_y + S$、$H = \partial_x^2 + F\partial_y + A$ およびスカラー $f$ を用いたLax三重項形式を用い、$L_t = [L,H] - fL$ を満たす。
• リーマン面 $\Gamma$ に2つの無限遠点と極の分配 $D$ を持つ2点バーグラー＝アキエイツ関数 $\psi(P,x,y,t)$ を用いて代数幾何的解を構成する。
• $S = 0$ とすることで2次元バーガース還元が得られ、線形系 $c_t - c_{xx} + c_{yy} = (U(x) + V(y))c$ が得られ、これは1次元バーガース方程式の一般化である。
• 複素化された場合 $x \to z, y \to \bar{z}$ に拡張され、$GKMMN$-II および $B_2$-II システムが得られ、特定のスペクトル条件下で自己随伴性が保たれる。
• 逆スペクトルデータは複素代数曲線 $\Gamma$ とブロッホ＝フロケ固有関数に符号化され、スペクトルデータがポテンシャルおよび磁場を決定する。
• ゲージ変換を用いて一般系を標準形に還元し、動的性質が実数および自己随伴還元と整合することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元シュレーディンガー作用素を用いて、Lax三重項形式により(2+1)次元可積分階層をどのように生成できるか？
• RQ2 2点バーグラー＝アキエイツ関数は、GKMMNシステムおよびその還元の解を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 2次元バーガース階層はGKMMNシステムのどの還元として生じるのか？ そしてそのスペクトル的解釈は何か？
• RQ4 スピン1/2粒子のパウリハミルトニアンの文脈で、2次元シュレーディンガー作用素が自己随伴であるための条件は何か？
• RQ5 2次元シュレーディンガー作用素の逆スペクトルデータは、複素代数曲線とブロッホ＝フロケ固有関数から完全に再構成可能か？

主な発見

• GKMMNシステムは、方程式 $G_t = G_{xx} - G_{yy} + (F^2)_x - (G^2)_x - A_x + 2S_y$ および $S_t = -S_{xx} + S_{yy} + 2(GS)_x - 2(FS)_y$ と制約 $F_x = 2G_y$、$A_y = 2S_x$、$f = 2G_x - F_y$ を持つ(2+1)次元非線形発展系として導出される。
• 2次元バーガース系 $B_2$ は $S = 0$ とすることで得られ、線形方程式 $c_t - c_{xx} + c_{yy} = (U(x) + V(y))c$ を得る。これは1次元バーガース方程式の一般化である。
• 2次元バーガース階層は、可約リーマン面 $\Gamma = \Gamma' \cup \Gamma''$ と分配 $D = D' + D''$ から構成され、$\psi$ は交点 $Q_s$ における整合性条件を満たすバーグラー＝アキエイツ関数である。
• 複素変数 $z, \bar{z}$ における $GKMMN$-II システムでは、実磁場および実ポテンシャルの自己随伴ケースが $t \in \mathbb{R}$ の時間発展と整合し、系 $c_t - 4c_{xy} = 8a_y c$ および $S_t + 4S_{xy} = 8[S\Phi_{xy} - S_x\Phi_y - S_y\Phi_x]$ を得る。
• 2次元バーガース系 $B_2$-II で $S = 0$ とすると、$c_t - 4c_{xy} = T(x,y,t)c$ に還元され、$ abla T = 0$ を満たす。磁場は $B = -\frac{1}{2}\nabla(\log c) \in \mathbb{R}$ であり、これは純粋磁場の2次元パウリ作用素と関連する。
• 2次元シュレーディンガー作用素の逆スペクトルデータは、複素代数曲線 $\Gamma$ とブロッホ＝フロケ固有関数に符号化され、非自明な自己随伴作用素が、自明な場合を除き、ブロッホ多様体におけるザリスキ開部分を有することはないとの仮説が提示される。