[論文レビュー] 2T Physics and Quantum Mechanics

W. Chagas-Filho|ArXiv.org|Feb 20, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2T物理学における2つの時間的次元を有する時空における量子力学の6つの同等な定式化を提案する。これらは、古典的ハミルトニアンの局所スケール不変性によって統一される。標準的な位置空間量子力学を運動量空間へ拡張し、運動量に依存する計量テンソルおよびベクトル場を導入することで、波動-粒子二重性が完全に補完され、主な結果として、スケール不変性下での同一の古典的極限および双対的定式化が得られる。

ABSTRACT

We use a local scale invariance of a classical Hamiltonian and describe how to construct six different formulations of quantum mechanics in spaces with two time-like dimensions. All these six formulations have the same classical limit described by the same Hamiltonian. One of these formulations is used as a basis for a complementation of the usual quantum mechanics when in the presence of gravity.

研究の動機と目的

• 位置空間における量子力学の一般的定式化を、運動量空間へ拡張し、運動量に依存する幾何的構造（計量テンソルなど）を組み込むこと。
• 特に計量テンソルおよびベクトル場を含む位置空間量子力学方程式の運動量空間アナログの欠如を解決すること。
• 2T物理学における局所スケール不変性が、量子力学における波動-粒子二重性を完全に実現できることを示し、量子順序の曖昧さを排除すること。
• 同じ古典的ハミルトニアンに基づく、位置または運動量に依存する幾何構造に依存する量子力学の双対的定式化の存在を確立すること。
• 運動量に依存するベクトル場が量子力学に一貫して導入可能であることを導入し、その物理的および数学的根拠を正当化すること。位置に依存するものと同様の役割を果たす。

提案手法

• 2T物理学のハミルトニアンの有限な局所スケール不変性を用い、平坦なミンコフスキー空間と、位置および運動量に依存する計量テンソルを持つリーマン空間を関連付ける。
• 位相空間における新しいポアソン括弧構造を導出し、スネイドの交換関係を一般化する。非可換パラメータを1に設定することで、運動量に依存する幾何構造が得られる。
• 運動量依存する計量テンソルおよび運動量依存するベクトル場 $A_M(P)$ を導入することで、標準的量子力学の内積および行列要素の運動量空間アナログを構成する。
• 導出されたポアソン括弧に対応原理を適用し、運動量空間における量子化理論の基本的交換関係を導出する。
• ハミルトニアンおよび運動方程式が、位置および運動量表現の両方において局所スケール変換に対して不変であることを示し、定式化間の整合性を保証する。
• スケール対称性のゲージ固定を用い、2つの異なる双対的定式化を導出する。1つは運動量依存する計量およびベクトル場を有するもので、もう1つは位置依存する計量および運動量依存するベクトル場を有するものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位置空間における量子力学の標準的定式化を、計量テンソルおよびベクトル場といった幾何的構造を用いて、どのように運動量空間へ一般化できるか？
• RQ2 局所スケール不変性が2T物理学における運動量に依存する幾何的対象を生成する役割を果たし、異なる量子力学的定式化をどのように統一するか？
• RQ3 運動量に依存するベクトル場を量子力学に一貫して導入可能か？2T物理学の文脈において、その物理的および数学的根拠は何か？
• RQ4 計量およびベクトル場が運動量に依存する場合、古典的運動方程式がスケール変換に対してどのように不変であるか？これは量子二重性にどのような意味を持つのか？
• RQ5 2T物理学における位置に依存する幾何と運動量に依存する幾何に基づく量子力学の定式化の関係は何か？それらはどのように互いに双対的であるか？

主な発見

• 6つの異なる量子力学的定式化が導出され、すべてが同じ古典的極限（式 (5.12) で記述される2Tハミルトニアン）を共有する。そのうち3つは位置に依存する幾何に基づき、残りの3つは運動量に依存する幾何に基づく。
• 本稿は、重力が存在する場合に運動量に依存する計量テンソルが量子力学に不可欠であることを示し、2T物理学における局所スケール不変性の自然な帰結として位置づける。
• 運動量依存するベクトル場 $A_M(P)$ が導入され、運動量空間における一貫性のある量子力学の実現に不可欠であることが示され、位置空間における $A_M(X)$ の役割と類似している。
• 運動量空間におけるポアソン括弧関係式 (5.33) および (5.34) が導出され、ハミルトニアンの運動方程式が、位置および運動量表現の両方においてスケール変換に対して不変であることが示された。
• 古典的ハミルトニアンの運動方程式は、$ar{G}_{MN}$ を持つ背景、$G_{MN}$ を持つ背景、および運動量依存する計量およびベクトル場を有する背景の3つにおいて同一であり、古典的レベルでの物理的同等性が確認された。
• 位置に依存する幾何と運動量に依存する幾何に基づく定式化の間の双対性は、両者に同一の対称性が存在することによって確認され、量子力学における波動-粒子補完性の統一的枠組みを支持する。