[論文レビュー] 2x2 convexifications for convex quadratic optimization with indicator variables

Shaoning Han, Andrés Gómez+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2020

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、インジケータ変数を伴う凸二次計画法に対して、2×2の凸化技術を新たに提案し、元の変数空間および放物型二次計画法の拡張形としての凸包を導出する。本手法は、2変数の凸包を構築要素として用いることで、従来の手法（ShorのSDPやパースペクティブ定式化など）よりも強い半定値計画（SDP）緩和を構築し、ポートフォリオ最適化のインスタンスに対する計算実験で、整数性ギャップを顕著に低減する。

ABSTRACT

In this paper, we study the convex quadratic optimization problem with indicator variables. For the bivariate case, we describe the convex hull of the epigraph in the original space of variables, and also give a conic quadratic extended formulation. Then, using the convex hull description for the bivariate case as a building block, we derive an extended SDP relaxation for the general case. This new formulation is stronger than other SDP relaxations proposed in the literature for the problem, including Shor's SDP relaxation, the optimal perspective relaxation as well as the optimal rank-one relaxation. Computational experiments indicate that the proposed formulations are quite effective in reducing the integrality gap of the optimization problems.

研究の動機と目的

• ヘッセ行列が非対角行列である場合に特に顕著な、インジケータ変数を伴う凸二次計画法に対する強力な凸緩和の不足を解消すること。
• 非負の変数とインジケータ制約を伴う2変数凸二次関数の上位集合のタイトな凸包記述を構築すること。
• 2変数の凸包を基本構成要素として用いることで、一般のn変数問題に対するより強いSDP緩和を構築すること。
• パースペクティブ、ShorのSDP、ランク1緩和など、既存の緩和手法と比較して、提案手法の計算的優位性を示すこと。
• 実世界の応用（例：ポートフォリオ選択）に生じる混合整数二次最適化問題に対して、スケーラブルで効果的なアプローチを提供すること。

提案手法

• 元の変数空間において、インジケータ変数を伴う2変数凸二次関数の上位集合の凸包を直接導出する。
• 2次錐計画法（SOCP）の表現可能性を活用し、2変数ケースの放物型二次計画法拡張定式化を提供する。
• ShorのSDP緩和と最適パースペクティブ定式化の等価性を確立し、文脈文献における未解決の問題を解決する。
• 基本的な有効不等式から理想の凸緩和を構築する新技術を開発し、2変数の凸包を基本的構成要素として用いる。
• 2変数凸包の記述を集約することで、一般n変数問題に対する新しいSDP緩和を構築し、従来の定式化よりも強い境界を保証する。
• 妥当な解を生成し、上界を評価するためのラウンディングヒューリスティクスを実装し、緩和からの下界と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インジケータ変数を伴う2変数凸二次関数の上位集合の凸包を、元の変数空間で明示的に記述できるか？
• RQ2 2変数ケースの凸包を正確に表現する放物型二次計画法拡張定式化が存在するか？
• RQ3 提案されたSDP緩和は、ShorのSDP、最適パースペクティブ定式化、および他の既存緩和と比較して、どの程度強いのか？
• RQ4 2変数凸包の記述を、一般n変数問題に対するより強いSDP緩和を構築するための構築要素として利用できるか？
• RQ5 提案された定式化は、特にポートフォリオ最適化インスタンスにおいて、混合整数二次最適化の整数性ギャップをどの程度低減するのか？

主な発見

• 提案された2×2凸化は、元の空間および放物型二次計画法拡張形の両方において、2変数ケースの正確な凸包記述を提供する。
• 本稿では、(QI)に対してShorのSDP緩和と最適パースペクティブ定式化の等価性を証明し、長年の未解決問題を解決した。
• 2変数凸包を基盤とする新しいSDP緩和は、ShorのSDP、最適パースペクティブ緩和、最適ランク1緩和よりも厳密に強い。
• 2010年以降の株式リターンデータでは、提案手法（OptPairs）により平均最適性ギャップが19.1%（OptPersp）から4.2%に低下し、n=150のインスタンスでは5分未満で解が得られる。
• 2015年以降のデータでは、平均ギャップが50.1%（OptPersp）から15.5%（OptPairs）に低下し、より困難なインスタンスに対しても安定した性能を示す。
• パースペクティブ定式化より2〜3倍の時間がかかるものの、問題サイズに応じたスケーラビリティは同等であり、n=150のインスタンスでは数分で最適解に到達し、従来手法と比較して解法時間のオーダーが大きく上回る。