[論文レビュー] 3-d quantum stabilizer codes with a power law energy barrier

Kamil Michnicki|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、3次元量子安定化符号を組み合わせるための新しい符号構築技術「溶接（welding）」を導入し、$O(L^{2/3})$ のべき則的エネルギー障壁を示す局所的3次元安定化符号の構築を可能にする。固体符号（境界が混合した3次元トーリック符号の変種）を溶接することで、従来の$O(\log L)$の上限をはるかに上回るはるかに高いエネルギー障壁を達成し、自己補正型量子メモリにおける未解決問題を解決する。翻訳不変性に依存しないノーガス理論を回避するため、対称性を破ることで実現される。

ABSTRACT

We introduce a new primitive, called welding, for combining two stabilizer codes to produce a new stabilizer code. We apply welding to construct surface codes and then use the surface codes to construct solid codes, a variant of a 3-d toric code with rough and smooth boundaries. Finally, we weld solid codes together to produce a $(O(L^3),1,O(L^{4/3}))$ stabilizer code with an energy barrier of $O(L^{2/3})$, which solves an open problem of whether a power law energy barrier is possible for local stabilizer code Hamiltonians in three-dimensions. The previous highest energy barrier is $O(\log L)$. Previous no-go results are avoided by breaking translation invariance.

研究の動機と目的

• 局所的3次元安定化符号が、以前の$O(\log L)$の制限を超えてべき則的エネルギー障壁を達成できるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 翻訳不変性に依存しないノーガス定理を回避する新しい符号合成技術を用いて、3次元における自己補正型量子メモリを構築すること。
• 溶接を用いて表面符号と固体符号を組み合わせることで、3次元安定化符号におけるべき則的エネルギー障壁の達成を実証すること。
• エネルギー障壁を調整可能にし、空間的に局所的な符号における非自明な論理演算子の幾何構造を可能にする、構成的技法「溶接」を提供すること。

提案手法

• 2つの安定化符号を、それらの論理演算子を特定・統合することで新しい安定化符号に結合する新しい手法「溶接」を導入する。
• 2次元の表面符号に溶接を適用し、論理演算子の幾何構造に基づくエネルギー障壁の下限を用いて溶接表面符号を構築する。
• 粗い境界と滑らかな境界を持つ3次元の「固体符号」を構築し、膜状およびストリング型の論理演算子を可能にする。
• 複数の固体符号を溶接して、細粒度と粗粒度の演算子が共存する階層的構造を持つ合成符号を構築する。
• 二重スケール埋め込みを用いて、分岐するストリング型演算子と膜型演算子を生成し、粗粒度化すると点および体積型演算子として振る舞うようにする。
• パリティの上限を用いて最小距離とエネルギー障壁を制約し、論理的距離とエネルギー障壁のスケーリングのトレードオフを最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的3次元安定化符号ハミルトニアンは、以前の$O(\log L)$の制限を超えてべき則的エネルギー障壁を達成できるか？
• RQ2 翻訳不変性に依存しない3次元における自己補正型量子メモリを構築することは可能か？
• RQ3 局所的安定化符号におけるエネルギー障壁を向上させるために、論理演算子の幾何構造をどのように設計できるか？
• RQ4 溶接のような構成的符号合成手法は、調整可能なエネルギー障壁と非自明な論理演算子トポロジーを持つ符号を生成できるか？
• RQ5 有限な符号化量子ビット数を有する局所的3次元安定化符号で達成可能な最大エネルギー障壁は何か？

主な発見

• 本稿は、$(O(L^3), 1, O(L^{4/3}))$ の安定化符号を3次元で構築し、エネルギー障壁が$O(L^{2/3})$ に達することを示した。これはべき則的スケーリングを達成した。
• エネルギー障壁は、膜型とストリング型の論理演算子の幾何的分岐に起因し、異なるスケールで共存する。
• 翻訳不変性を破ることで、従来のノーガス定理を回避し、以前に達成可能な範囲を超える高いエネルギー障壁を実現した。
• 符号の最小距離は$O(L^{4/3})$ にスケーリングし、距離とエネルギー障壁のトレードオフにおいて最適である。
• パrameterizationにおける$α = 2$ で、論理$X$と論理$Z$のエネルギー障壁のスケーリングがバランスするため、エネルギー障壁が最大化される。
• この構成は、3次元に埋め込まれた5次元ホモロジー符号と同等であり、溶接法がより高次元の符号埋め込みに広く適用可能である可能性を示唆している。