[論文レビュー] 3 Isotropic Markov semigroups on ultra-metric spaces∗

Alexander Bendikov, Alexander Grigor'yan+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2016

advanced mathematical theories参考文献 71被引用数 66

ひとこと要約

本稿は、参考測度と距離分布関数を用いて、コンパクトな球を持つ超距離空間上に等方的マコフ半群を構成し、遷移密度関数およびグリーン関数の鋭い上限・下限を確立するとともに、生成作用素が純粋な点スペクトルを持つことを示している。主な結果として、p進木上のランダムウォークとその境界上での等方的ジャンプ過程との間に双対性が存在し、タイブライソンおよびブラジミロフのラプラシアンがこうした過程の生成作用素として現れ、Qp上での分数階微分と時間変換を介して明示的に関係づけられることを示している。

ABSTRACT

Let (X,d) be a locally compact separable ultra-metric space. Given a reference measure \mu\ on X and a step length distribution on the non-negative reals, we construct a symmetric Markov semigroup P^t acting in L^2(X,\mu). We study the corresponding Markov process. We obtain upper and lower bounds of its transition density and its Green function, give a transience criterion, estimate its moments and describe the Markov generator and its spectrum, which is pure point. In the particular case when X is the field of p-adic numbers, our construction recovers fractional derivative and the Taibleson Laplacian (spectral multiplier), and we can also apply our theory to the study of the Vladimirov Laplacian which is closely related to the concept of p-adic Quantum Mechanics. Even in this well established setting, several of our results are new. We also elaborate the relation between our processes and Kigami's jump processes on the boundary of a tree which are induced by a random walk. In conclusion, we provide examples illustrating the interplay between the fractional derivatives and random walks.

研究の動機と目的

• 分離可能な超距離空間（コンパクトな球を有する）上に、参考測度と距離分布関数を用いて対称的マコフ半群を構成すること。
• 関連するマコフ過程の遷移密度関数およびグリーン関数に対する鋭い上界・下界を導出すること。
• マコフ生成作用素のスペクトルを純粋な点スペクトルとして特徴づけ、それを到達時間の分布およびグリーン関数と関連づけること。
• 根付き木上の最近接隣接ランダムウォークとその境界上での等方的ジャンプ過程との間に双対性を確立すること、特にp進設定において。
• p進解析および分数階微分の文脈において、既知のタイブライソンおよびブラジミロフのラプラシアンに関する結果を回復・拡張すること。

提案手法

• コンパクトな球を有する超距離空間 (X, d) 上に、参考測度 µ と距離分布関数 σ を用いて、L²(X, µ) 上の対称的マコフ半群 {P_t} を定義する。
• 劣化技術を用いて半群をレヴィ過程と関連づけ、スペクトル分布関数を導出する。
• ディリクレ型形式およびジャンプカーネルの理論を用いて、生成作用素 L 及びその定義域を特徴づける。
• グリーン関数 G に対して v ↦ 1/G(v, o) の値域を分析することにより、L の純粋な点スペクトルを確立する。
• p進ノルムに依存する遷移確率を有する木に基づくランダムウォークを用いて、境界上の過程をモデル化する。
• 木のレベルにおける再帰的関係を用いて、到達確率 F(v, o)、グリーン関数 G(v, o)、およびナーメ核 Θ_o(x, y) の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 参考測度と距離分布関数を用いて、コンパクトな球を有する超距離空間上に、対称的マコフ半群を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 このような過程の遷移密度関数およびグリーン関数に対する鋭い上界・下界は何か？
• RQ3 マコフ生成作用素 L のスペクトルは、下位の超距離空間の幾何構造および過程の到達時間とどのように関係するか？
• RQ4 p進木上の最近接隣接ランダムウォークとその境界上での等方的ジャンプ過程との間の明示的関係は何か？
• RQ5 Qp 上のタイブライソンおよびブラジミロフのラプラシアンは、どのようにこうした過程の生成作用素として現れ、分数階微分と関係づけられるか？

主な発見

• マコフ生成作用素 L は純粋な点スペクトルを持ち、固有値は v ↦ 1/G(v, o) の値域に加え 0 を含む。
• パrameter c = (1 + p^{-α})^{-1} を有する p進木 T_p 上のランダムウォークにおいて、到達確率 F(v, o) = p^{-α|v|} およびグリーン関数 G(v, o) = p^{-α|v|}/(1 - p^{-α}) が成り立つ。
• ランダムウォークによって誘導される境界過程は、Z_p 上の等方的ジャンプ過程であり、p進分数階微分 D_α のカーネルに比例するジャンプカーネルを持つ。
• 境界過程と D_α に駆動される過程は、線形時間変換 X_t / C = X_α_t により関連づけられる。ここで C = p^{-α}(1 - p^{-α}) である。
• D_α のジャンプカーネル J_α と境界生成作用素 L のカーネル Θ_o は、J_α(x, y) = (p^α / (1 - p^{-α})) Θ_o(x, y) を満たす。
• 参考端点 ̟ を有する非コンパクトな場合、境界過程の内在的距離およびジャンプカーネルは、それぞれ d_φ(x, y) = ((1 - p^{-α}) / (1 + p^{-α})) ||x - y||_p^α および J(x, y) = ((1 - p^{-α})^2 / ((1 + p^{-α})(1 - p^{-α-1}))) ||x - y||_p^{-(α+1)} で与えられ、J(x, y) = ((1 - p^{-α}) / (p^α + 1)) J_α(x, y) を満たす。