[論文レビュー] 3-Lie-Rinehart Algebras

Ruipu Bai, Xiaojuan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、3-Lie代数とRinehartのLie-Rinehart代数を統合する新しい代数的クラス、3-Lie-Rinehart代数を導入する。これは、$L$ が3-Lie代数であり、$A$-加群であるような三つ組 $(L, A, \rho)$ として定義され、$ $ は $ (L,L) \subseteq \text{Der}(A)$ を満たす表現である。主な貢献は、既存の3-Lie-Rinehart代数から新しい3-Lie-Rinehart代数を構成し、この枠組みにおける交叉モジュールと微分作用が、古典的なLie-Rinehart構造を一般化することを示している。

ABSTRACT

In this paper, we define a class of 3-algebras which are called 3-Lie-Rinehart algebras. A 3-Lie-Rinehart algebra is a triple $(L, A, ρ)$, where $A$ is a commutative associative algebra, $L$ is an $A$-module, $(A, ρ)$ is a 3-Lie algebra $L$-module and $ρ(L, L)\subseteq Der(A)$. We discuss the basic structures, actions and crossed modules of 3-Lie-Rinehart algebras and construct 3-Lie-Rinehart algebras from given algebras, we also study the derivations from 3-Lie-Rinehart algebras to 3-Lie $A$-algebras. From the study, we see that there is much difference between 3-Lie algebras and 3-Lie-Rinehart algebras.

研究の動機と目的

• 3-Lie代数とRinehartのLie-Rinehart代数を統合する新しい代数的クラス、3-Lie-Rinehart代数を定義・形式化すること。
• 3-Lie-Rinehart代数における作用、加群、および交叉モジュールの構造を調査すること。
• テンソル積と外積代数を用いて、既存の3-Lie-Rinehart代数から新しい3-Lie-Rinehart代数を構成すること。
• 3-Lie-Rinehart代数から3-Lie $A$-代数への微分作用とその表現論的意味を研究すること。
• 3-Lie-Rinehart代数がLie-Rinehart代数の交叉モジュールを生じるための条件を確立すること。

提案手法

• 3-Lie-Rinehart代数を三つ組 $(L, A, \rho)$ として定義する。ここで $L$ は3-Lie代数、$A$ は可換な結合的代数、$L$ は $A$-加群であり、$ : L \times L \to \text{Der}(A)$ は適合性条件を満たす。
• 与えられた代数的構造と表現 $ $ を用いて、$L \otimes A$ と $E$ を用いた新しい3-Lie-Rinehart代数の構成を行う。
• 半直積 $(L \ltimes R, A, \rho_4)$ を定義し、$(R, \beta)$ が $(L,A,\rho)$-加群であることと、半直積が3-Lie-Rinehart代数であることの必要十分条件を示す。
• Lie-Rinehart代数構造を $L \wedge L$ および $W(L,R,A)$ に導入し、関連する表現 $ _2$ と $ _3$ を定義する。
• 写像 $ (x \wedge y) = \overline{(\text{Ad}(x\wedge y), 0)}$ と $ (\overline{(\varphi, x\wedge y)}) = \varphi$ を用いて、交叉モジュール $(L\wedge L, A, \beta, \partial)$ を定義する。
• 写像 $ $ がLie代数の準同型であり、$ $ が交叉モジュールの公理を満たす作用を定義することを証明する。また、$ $ の核は $L\wedge L$ の中心に一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換結合的代数上の加群構造を保ちつつ、3-Lie代数にどのように拡張できるか？
• RQ2 3-Lie-Rinehart代数がいつLie-Rinehart代数の交叉モジュールを生じるか？
• RQ3 表現 $ $ が3-Lie $A$-代数への微分作用と作用の決定に果たす役割は何か？
• RQ4 $L \otimes A$、$L \wedge L$、$W(L,R,A)$ のような構成が、与えられた代数からどのように新しい3-Lie-Rinehart代数を生じるか？
• RQ5 交叉モジュール構造における写像 $ $ の核が、$L \wedge L$ の中心に一致するのはいつか？

主な発見

• 半直積 $(L \ltimes R, A, \rho_4)$ が3-Lie-Rinehart代数であることと、$(R, \beta)$ が $(L,A,\rho)$-加群であることとは同値である。
• 任意の3-Lie $A$-代数の同型写像 $L \to R$ は、$(L,A,\rho)$ が $(R,A)$ に一貫した作用 $\beta$ を誘導する。
• $ _1$ を用いた $L \otimes A$ の構成は、定理2.6で示されるように3-Lie-Rinehart代数をもたらす。
• 外積代数 $L \wedge L$ と $ _2$ は、定理2.8で示されるようにLie-Rinehart代数を形成する。
• 写像 $ : L \wedge L \to \overline{W(L,L,A)}$ を $ (x \wedge y) = \overline{(\text{Ad}(x\wedge y), 0)}$ で定義すると、これはLie代数の準同型である。
• 写像 $ $ の核は、Lie代数 $L \wedge L$ の中心であり、$A$-加群作用に関して閉じている。