[論文レビュー] 3 Models of group schemes of roots of unity

Matthieu Romagny, Dajano Tossici|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Kummer群スキーム（明示的な同一形の核として定義されるフィルター付き群スキーム間の同形の核）を用いて、離散付値環上のpn乗根の単位群の有限平坦群スキームモデルを構成する。これにより、これらのモデルを分類する明示的で行列に基づく枠組みが得られる。著者らは、Kummer群スキームとBreuil-Kisinモジュールとの間の対応をWittベクトル行列を用いて確立し、n ≤ 3の場合に限り、µpn,Kのすべての有限平坦モデルがKummer群スキームであることを証明し、一般の場合にも成り立つと予想する。

ABSTRACT

Let O_K be a discrete valuation ring of mixed characteristics (0,p), with residue field k. Using work of Sekiguchi and Suwa, we construct some finite flat O_K-models of the group scheme \mu_{p^n,K} of p^n-th roots of unity, which we call Kummer group schemes. We set carefully the general framework and algebraic properties of this construction. When k is perfect and O_K is a complete totally ramified extension of the ring of Witt vectors W(k), we provide a parallel study of the Breuil-Kisin modules of finite flat models of \mu_{p^n,K}, in such a way that the construction of Kummer groups and Breuil-Kisin modules can be compared. We compute these objects for n < 4. This leads us to conjecture that all finite flat models of \mu_{p^n,K} are Kummer group schemes.

研究の動機と目的

• 離散付値環OK上のpn乗根の単位群の群スキームμpn,Kの明示的有限平坦群スキームモデルを構成すること。
• Wittベクトルとp進展開を用いた行列論的枠組みを発展させ、特定の同一形の核として定義されるKummer群スキームを導入することで、これらのモデルを分類すること。
• クリスタリン表現およびガロア群の退化の文脈において、これらのKummer群スキームとBreuil-Kisinモジュールの構造を比較すること。
• すべての有限平坦モデルμpn,KがKummer群スキームであるという予想に対する計算的証拠を提供すること、特にn ≤ 3の場合に焦点を当てる。
• ホープ順序およびこれらの群スキームのコhomological不変量を理解する基盤を築き、Kisinの多様体およびガロア被覆への応用を想定すること。

提案手法

• Sekiguchi-Suwa理論を用いて、Gm,Kの連結ファイバーを持つ逐次拡張であるフィルター付き群スキーム間の同一形の核として、μpn,Kの有限平坦モデルを構成する。
• W(OK)の係数をもつ上三角行列を用いてKummer群スキームをパラメトライズし、行列空間上に非可換な積および順序構造を導入する。
• Breuil-Kisinモジュールの理論を応用し、Wn(k)((u))内のu-整数格子としてそれらを特定し、フロベニウス作用および格子関手を用いて群スキーム構造をモデル化する。
• p進展開およびテイクミュラー上昇を用いて、整数性条件を行列方程式に翻訳する。特にn = 3の場合に有効である。
• W(R/π^lR)における明示的行列計算を用いて、Kummer群スキームの整数性および整合性条件を検証する。
• µ-行列およびµ-行列のループの理論に依拠し、群スキームの構造とその還元を符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 OK上でのμpn,Kのすべての有限平坦モデルは、予想通りKummer群スキームに同型であるか？
• RQ2 Wittベクトル上の行列を用いて、μpn,Kの有限平坦モデルの構造をどのようにパラメトライズできるか？
• RQ3 クリスタリン表現の文脈において、Kummer群スキームとBreuil-Kisinモジュールの正確な関係は何か？
• RQ4 n = 3の場合に、得られる群スキームの整数性および平坦性を保証する明示的行列条件は何か？
• RQ5 これらのモデルのコホモロジー的および幾何的性質は、それらのBreuil-Kisinモジュール対応物とどのように関係するか？

主な発見

• n ≤ 3の場合、OK上でのμpn,Kのすべての有限平坦モデルがKummer群スキームであることが示され、主な予想に対する強い証拠が得られた。
• Kummer群スキームは、フィルター付き群スキーム間の同一形の核として明示的に構成され、p進展開およびWittベクトルを用いた式で与えられる。
• これらのKummer群スキームのBreuil-Kisinモジュールは、Wn(k)((u))内のu-整数格子として特定され、行列条件を用いてその構造が記述される。
• n = 3の場合、整数性条件は行列成分およびp進付値を用いて明示的に計算され、π^l3を法として完全な分類が得られた。
• µ-行列上の条件UA/LA ≥ 0は一般には必要であるが十分ではないことが判明したが、n ≤ 3の場合には他の条件から従う。
• 計算により、群スキームの構造が分岐指数および均一化子の選択に強く依存することが判明し、非テイクミュラー成分が高分岐において複雑さをもたらすことが明らかになった。