[論文レビュー] 3D-2D analysis of a thin film with periodic microstructure

Jean‐François Babadjian, Margarida Baı́a|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2006

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、Γ収束および2スケール収束を用いて、周期的微細構造を有する薄い超弾性膜の漸近的挙動を分析する。平面内方向と振動する変数を分離することで、2次元有効エネルギー密度を導出し、Γ極限が一般の周期的被積分関数に対して、p-成長および強制的条件のもとで、均質化された膜エネルギーと準凸化を伴うことを証明する。

ABSTRACT

The purpose of this article is to study the behavior of a heterogeneous thin film whose microstructure oscillates on a scale that is comparable to that of the thickness of the domain. The argument is based on a 3D-2D dimensional reduction through a $Γ$-convergence analysis, techniques of two-scale convergence and a decoupling procedure between the oscillating variable and the in-plane variable.

研究の動機と目的

• 厚さε → 0 のとき、周期的微細構造を有する不均質な薄い膜の漸近的挙動を理解すること。
• 3次元超弾性エネルギーからの次元削減により、2次元有効エネルギー関数を導出すること。
• スケーリングされたエネルギーのΓ収束および2スケール収束技術を用いて、Γ極限を確立すること。
• 振動する微細構造と平面内マクロな変数を分離し、緩和されたエネルギー密度を取得すること。
• 一般の周期的保存エネルギー密度に対して、極限エネルギーを準凸化され、均質化された膜エネルギーとして特徴づけること。

提案手法

• x₃ ↦ x₃/ε を用いて、ε 厚さの領域 Ωε = ω × (−ε, ε) を固定厚さの領域 Ω = ω × (−1, 1) にスケーリングする。
• f ∈ Lᵖ′, g ∈ Lᵖ′ とすると、スケーリングされたエネルギー Eε(u) = ∫Ω Wε(x; Dαu | (1/ε)D₃u) dx − ∫Ω f·u dx − ∫Σ g·u dℋ² を定義する。
• 横方向の微細構造の振動的挙動を扱うために、2スケール収束を適用する。
• 平面内変数 xα と高速振動変数 x₃/ε の間の分離手続きを用いて、スケールを分離する。
• ε → 0 における極限を示すためにΓ収束を用い、ほぼ最小化子の収束を証明する。
• コンパクト集合上での連続関数による近似を通じて、極限エネルギー密度の連続性と周期性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ε → 0 のとき、周期的微細構造を有する薄い膜のスケーリングされた3次元エネルギーのΓ極限は何か？
• RQ2 極限において、振動的微細構造はどのようにマクロな平面内変形から分離できるか？
• RQ3 均質化および準凸化を行った後の有効2次元エネルギー密度の形は何か？
• RQ4 Γ極限が膜型エネルギーと緩和されたエネルギー密度をもたらすための条件は何か？
• RQ5 極限エネルギーは、平面内勾配および横方向ひずみの連続的・周期的・準凸関数として表現可能か？

主な発見

• ε → 0 のとき、スケーリングされたエネルギー Eε(u) のΓ極限は、均質化され、準凸化されたエネルギー密度を有する2次元膜エネルギーである。
• 極限エネルギー密度はコンパクト集合上で連続的かつ正の下限を有し、2次元問題の適切な定式化を保証する。
• 有効エネルギー密度は2スケール極限と緩和を介して得られ、代表細胞問題を通じて周期的微細構造が組み込まれる。
• 極限エネルギーは古典的な膜の意味で横方向微分係数に依存せず、1/ε スケーリングが主要なエネルギー寄与を捉えている。
• Γ収束結果は、Eε(uε) ≤ inf Eε(u) + h(ε) かつ h(ε) → 0 を満たすほぼ最小化子に対しても成り立ち、摂動に対して安定であることを示す。
• 極限エネルギー密度は高速変数に関して周期的であり、遅い変数に関して連続的であり、p-成長および強制的条件から一様な境界が得られる。