[論文レビュー] 3D tamed Navier-Stokes equations driven by multiplicative Lévy noise: Existence, uniqueness and large deviations

Zhao Dong, Rangrang Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、周期的境界条件の下で、乗法的Lévyノイズによって駆動される3次元のtamed Navier-Stokes方程式に対して、強い解の存在および一意性を確立する。弱収束法を用いて、解が空間 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ において大偏差原理を満たすことを証明し、3次元におけるジャンプノイズを有するSPDEに対する大偏差理論を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we show the existence and uniqueness of a strong solution to stochastic 3D tamed Navier-Stokes equations driven by multiplicative Levy noise with periodic boundary conditions. Then we establish the large deviation principles of the strong solution on the state space $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$, where the weak convergence approach plays a key role.

研究の動機と目的

• SPDE理論における、乗法的Lévyノイズによって駆動される3次元tamed Navier-Stokes方程式に関する結果の不足を補う。
• 周期的境界条件下で、強い解の存在およびパスごとの一意性を確立する。
• 解が空間 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ において大偏差原理（LDP）を満たすことを導出する。これは、サンプルパスの挙動を捉えるものである。
• 3次元空間的次元におけるジャンプ型ノイズを有する確率的PDEに対する大偏差理論を拡張する。

提案手法

• 正則性および存在性を保証するため、非線形減衰項 $g_N(|u|^2)u$ を含む3次元tamed Navier-Stokes方程式を定式化する。
• ポリッシュ空間 $\mathbb{Z}$ 上の補正付きポアソン確率測度 $\tilde{\eta}$ を用いて、乗法的Lévyノイズをモデル化する。
• 制御過程の収束に依存する弱収束法を適用して、大偏差原理を証明する。
• ポアソン確率測度およびそれに関連する制御を駆動とする制御方程式の族を用いて、ラプラス原理を分析する。
• マーリング代数解とパスごとの一意性を介して、ヤマダ＝ワタナベの定理を間接的に適用し、強い解の存在を確立する。
• 右連続で左極限を有するパスの位相において、空間 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ 内で弱収束アプローチを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的境界条件の下で、乗法的Lévyノイズによって駆動される3次元tamed Navier-Stokes方程式に対して、強い解が存在するか？
• RQ2 同じ条件下で、強い解はパスごとに一意的か？
• RQ3 解は空間 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ において大偏差原理を満たすか？
• RQ4 弱収束法は3次元におけるジャンプノイズを有するSPDEに成功裏に適用可能か？
• RQ5 Lévyノイズの存在は、tamed Navier-Stokes系のサンプルパス挙動にどのように影響するか？

主な発見

• 周期的境界条件下で、乗法的Lévyノイズを伴う3次元tamed Navier-Stokes方程式の強い解は存在し、パスごとに一意的である。
• 解が空間 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ において大偏差原理を満たし、そのレート関数は弱収束法によって決定される。
• 制御過程 $\tilde{u}^\varepsilon$ が $[0,T]$ 上で $\mathbb{H}^1$-ノルムにおいて、確定的極限 $\mathcal{G}^0(\vartheta^{\varphi})$ に収束することが確立された。
• 制御過程 $\tilde{u}^\varepsilon$ の極限は、スケルトン方程式の解と一致し、ラプラス原理が確認された。
• 解 $\tilde{u}^\varepsilon$ は $\mathcal{G}^0(\vartheta^{\varphi})$ に分布収束する。これは、大偏差原理の妥当性を検証するものである。
• 証明は、$\tilde{Y}^\varepsilon$ が $\mathbb{H}^1$ および $L^2([0,T];\mathbb{H}^2)$ においてゼロに収束することに依存し、これはスケルトン方程式と漸近的に同値であることを保証する。