[論文レビュー] 3rd-order Spectral Representation Method: Part II -- Ergodic Multi-variate random processes with fast Fourier transform

Lohit Vandanapu, Michael D. Shields|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2019

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ひとこと要約

本稿では、指定された相互パワー スペクトル密度および相互バーチャル スペクトル密度に基づき、高速フーリエ変換（FFT）を用いた効率的な3次スペクトル表現法を提案する。この手法により、シミュレートされた過程が期待値において目的の2次および3次統計的性質と一致し、多インデックス周波数離散化によってエルゴディック性が保証され、FFTの実装により顕著な計算コスト削減が達成される。

ABSTRACT

The second in a two-part series, this paper extends the 3rd-order Spectral Representation Method for simulation of ergodic multi-variate stochastic processes according to a prescribed cross power spectral density and cross bispectral density. The 2nd and 3rd order ensemble properties of the simulated stochastic vector processes are shown to satisfy the target cross correlation properties in expectation. A multi-indexed frequency discretization is introduced to ensure ergodicity of the sample functions. This is first shown for uni-variate processes and then the simulation formula for multi-variate processes is provided. Ensemble properties and ergodicity of the sample functions are proven. Additionally, it is shown that the simulations can be implemented efficiently with the Fast Fourier Transform, which greatly reduces computational effort. An example involving the simulation of turbulent wind velocity fluctuations is presented to further highlight the features and applications of the algorithm.

研究の動機と目的

• 3次スペクトル表現法を多変量でエルゴディックな確率過程に拡張すること。
• シミュレートされた過程が期待値において目的の2次および3次集合統計と一致することを保証すること。
• 多インデックス周波数離散化スキームを用いて、サンプル関数のエルゴディック性を強制すること。
• 高速フーリエ変換（FFT）アルゴリズムの統合により、計算の効率化を実現すること。
• 乱流風速フラクチュエーションの現実的応用を通じて、手法の実用性を示すこと。

提案手法

• 多インデックス周波数離散化を用いることで、多変量過程のシミュレートされたサンプル関数におけるエルゴディック性を保証する。
• 指定された相互パワー スペクトル密度および相互バーチャル スペクトル密度から導かれるランダムな位相および振幅を持つ正弦波成分の組み合わせにより、確率過程を構築する。
• 3次コマリントンを用いたスペクトル表現により、多変量過程における非ガウス的・非線形的依存関係の正確なモデル化が可能になる。
• 時間領域の実現値の計算を高速化するために高速フーリエ変換（FFT）が適用され、計算コストが顕著に削減される。
• この手法により、シミュレートされた過程の2次および3次集合モーメントが、目的の相互相関およびバーチャル スペクトル特性と一致することが保証される。
• 逆FFT演算と適切な位相ランダマイゼーションを介して、スペクトル密度関数を時間領域の実現値にマッピングする数値アルゴリズムが導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次スペクトル表現法を、指定された相互スペクトル密度およびバーチャル スペクトル密度を持つ多変量でエルゴディックな確率過程にどのように拡張できるか。
• RQ2 どの周波数離散化戦略が、シミュレートされた過程のサンプル関数におけるエルゴディック性を保証するか。
• RQ3 統計的忠実性を損なわずに、このような過程のシミュレーションにかかる計算コストをどのように低減できるか。
• RQ4 シミュレートされた過程が、期待値においてどの程度、目的の2次および3次統計的性質を再現するか。
• RQ5 実用的応用において、高速フーリエ変換を用いてこの手法を効率的に実装できるか。

主な発見

• シミュレートされた多変量過程は、期待値において、目的の2次相互相関特性を正確に一致させる。
• 3次相互バーチャル スペクトル密度がシミュレートされた過程に保持され、非ガウス的・非線形的依存関係の正確な表現が保証される。
• 多インデックス周波数離散化の使用により、サンプル関数のエルゴディック性が数学的に証明された通りに成功裏に強制された。
• 高速フーリエ変換の統合により、計算複雑度が低減され、長期間・高解像度の過程の効率的シミュレーションが可能になった。
• 本手法は、乱流風速フラクチュエーションのシミュレーションに成功裏に応用され、工学的応用における実用的関連性と正確性が示された。
• 理論的証明により、提示されたフレームワーク下で、集合統計的性質と時間平均統計的性質の両方が、目的値に収束することが確認された。