[論文レビュー] 3SUM, 3XOR, Triangles

Zahra Jafargholi, Emanuele Viola|arXiv (Cornell University)|May 16, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、3SUM から三角形リスト作成への Pätraşcu の還元を決定的かつ逆転させ、3SUM を時間 $ ilde{O}(n^{1+ au})$ で解けるならば、$m$ 条辺のグラフで $t$ 個の三角形をリスト作成する時間 $ ilde{O}(m^{1+ au}t^{1/3 - \tau/3})$ で行えることを示す。主な貢献は、3SUM、3XOR、三角形リスト作成の間の還元のネットワークを構築し、これらの問題のいずれかが二次時間より著しく速い場合、三角形リスト作成も $m^{4/3}$ より速くなる必要があることを示している。これは、多項式的要因を除いて成立する。

ABSTRACT

We show that if one can solve 3SUM on a set of size n in time n^{1+\e} then one can list t triangles in a graph with m edges in time O(m^{1+\e}t^{1/3-\e/3}). This is a reversal of Patrascu's reduction from 3SUM to listing triangles (STOC '10). Our result builds on and extends works by the Paghs (PODS '06) and by Vassilevska and Williams (FOCS '10). We make our reductions deterministic using tools from pseudorandomness. We then re-execute both Patrascu's reduction and our reversal for the variant 3XOR of 3SUM where integer summation is replaced by bit-wise xor. As a corollary we obtain that if 3XOR is solvable in linear time but 3SUM requires quadratic randomized time, or vice versa, then the randomized time complexity of listing m triangles in a graph with $m$ edges is m^{4/3} up to a factor m^αfor any α> 0.

研究の動機と目的

• Pätraşcu の 3SUM から三角形リスト作成への還元を逆転させ、両問題の間の双方向的つながりを確立すること。
• このつながりを、整数加算をビット単位の XOR に置き換えた 3SUM の 3XOR 変種に拡張すること。
• 擬似乱数の道具を用いて還元を決定的にし、確率的構成の制限を克服すること。
• 3SUM と 3XOR の複雑さの違いが、グラフにおける三角形リスト作成の時間計算量に与える影響を分析すること。
• 3SUM が二次時間が必要だが 3XOR が線形時間で解ける、あるいはその逆の場合、三角形リスト作成は $m^{4/3}$ にまで、多項式的要因を除いて到達する必要があることを示すこと。

提案手法

• 三角形リスト作成から三角形検出への Vassilevska と Williams の還元を、隣接行列ではなく隣接リストに適応・拡張する。
• ランダムサンプリングを用いた再帰的 divide-and-conquer 戦略を用い、部分問題における辺の数を減らしながらも三角形のカバーを保持する。
• 集中不等式を用いて決定的保証を得られるように、ランダムサンプリングのプロセスを擬似乱数的構成で脱ランダム化する。
• エッジの包含確率の分散分析を用いて、サンプリングされた部分グラフにおける期待エッジ数を制御し、$\alpha$ および $\delta$ パrameter で逸脱を制御する。
• 三角形検出、エッジサンプリング、再帰的リスト作成のサブルーチンを統合し、合計時間計算量 $ ilde{O}(m^{1+\tau}t^{1/3 - \tau/3})$ を達成する。
• 部分問題がレベルごとに処理される階層的再帰を用い、レベル数が $\lg t^{1/3}$ で抑えられることを示し、幾何級数による合計コストを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3SUM から三角形リスト作成への還元を逆転させ、より速い 3SUM がより速い三角形リスト作成を意味するか？
• RQ2 3SUM の 3XOR 変種が、グラフにおける三角形リスト作成の複雑さに与える影響は何か？
• RQ3 3SUM が $ ilde{\Omega}(n^2)$ 時間を要するが 3XOR が $ ilde{O}(n)$ 時間で解ける、あるいはその逆であることは可能か？
• RQ4 $m$ 条辺のグラフで $m$ 個の三角形をリスト作成するための確率的時間計算量のタイトな境界は何か？
• RQ5 擬似乱数を用いて、三角形リスト作成と 3SUM の文脈における確率的還元を決定的にする方法は何か？

主な発見

• Pätraşcu の還元の決定的逆転が達成された：3SUM を時間 $ ilde{O}(n^{1+\tau})$ で解けるならば、$m$ 条辺のグラフで $t$ 個の三角形をリスト作成する時間 $ ilde{O}(m^{1+\tau}t^{1/3 - \tau/3})$ で行える。
• $t$ 個の三角形のリスト作成の時間計算量は $ ilde{O}(m^{1+\tau}t^{1/3 - \tau/3})$ で抑えられ、$ au < 1/15$ のとき Pagh の $ ilde{O}(m^{1.4})$ アルゴリズムを上回る。
• 3SUM が $ ilde{\Omega}(n^2)$ の確率的時間を要するが 3XOR が $ ilde{O}(n)$ 時間で解ける、あるいはその逆の場合、$\min\{z,m\}$ 個の三角形のリスト作成には $m^{4/3}$ 時間が必要になる。これは任意の $\alpha > 0$ に対して $m^{\alpha}$ 要因を除いて成立する。
• 3XOR から三角形リスト作成への還元は類似の技術を用いて確立され、両問題の複雑さが密接に結びついていることを示している。
• 分散の分析により、エッジのサンプリングにおける分散は $O((\alpha + \delta)m^2)$ で抑えられ、集中性が保証され、再帰的サンプリング戦略が高確率で成功することが可能になる。
• 最終的な時間計算量は、再帰レベルにおける幾何級数の和として導出され、主要な項はレベル $\ell = \lg t^{1/3}$ によって決定され、提示された複雑さが得られる。