[論文レビュー] 4 A PRIORI ESTIMATES AND APPLICATION TO THE SYMMETRY OF SOLUTIONS FOR CRITICAL p–LAPLACE EQUATIONS

Jérôme Vétois|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 36被引用数 81

ひとこと要約

本稿は、R^nにおける臨界pラプラシアン方程式の解について、鋭い点付き事前推定を確立し、解およびその勾配の減衰率を証明する。弱リーマン空間の評価、スケーリング技術、ハーナック型不等式を組み合わせることで、解の減衰率を明示的に導出し、正の解についての径数的対称性結果を、これまでの範囲 2n/(n+2) ≤ p < 2 から、全範囲 1 < p < 2 まで拡張する。また、D^{1,p}(R^n)における−Δ_p u = u^{p^*-1}の正の解が、Guedda–Véronが知っている径数的対称解に限ることを確認する。

ABSTRACT

We establish pointwise a priori estimates for solutions in $D^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ of equations of type $-\Delta_pu=f(x,u)$, where $p\in(1,n)$, $\Delta_p:=\mbox{div}\big(\left| abla u ight|^{p-2} abla u\big)$ is the $p$-Laplace operator, and $f$ is a Caratheodory function with critical Sobolev growth. In the case of positive solutions, our estimates allow us to extend previous radial symmetry results. In particular, by combining our results and a result of Damascelli-Ramaswamy, we are able to extend a recent result of Damascelli-Merch\'an-Montoro-Sciunzi on the symmetry of positive solutions in $D^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ of the equation $-\Delta_pu=u^{p^*-1}$, where $p^*:=np/(n-p)$.

研究の動機と目的

• D^{1,p}(R^n)における臨界pラプラシアン方程式の解について、臨界ソボレフ成長を満たす非線形項 f(x,u) を持つ点付き事前推定を確立する。
• 正の解についての径数的対称性結果を、これまでの範囲 2n/(n+2) ≤ p < 2 から、全範囲 1 < p < 2 まで拡張する。
• D^{1,p}(R^n)における−Δ_p u = u^{p^*-1}の正の解が、Guedda–Véronが知っている既知の径数的対称解に限ることを証明する。
• 移動平面法による対称性証明に不可欠な事前減衰推定を提供する。
• スケーリングに関して鋭い上界と下界を備えた精緻な減衰推定を提供し、グローバルコンパクトネスの議論に不可欠である。

提案手法

• 測度論的議論と弱形式への切断技術を用いて、解の全空間におけるL^{p^*-1,∞}のグローバル評価を導出する。
• 方程式にスケーリングを適用し、無限遠における漸近的挙動を分析し、全空間上での極限問題に変換する。
• Poláčik–Quittner–Soupletの二重性性質を用いて、中空領域における解の成長を制御する。
• SerrinおよびTrudingerの結果を応用し、中空領域上でのハーナック不等式を確立し、大きな中空領域における上界と下界の比較を可能にする。
• スケーリング議論とハーナック推定、補間を組み合わせることで、|u(x)|および|∇u(x)|の鋭い上界を導出する。
• 中空領域上でのハーナック不等式と、∫ f(x,u)dx の下界を組み合わせることで、正の解の下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界非線形項を伴うR^nにおける臨界pラプラシアン方程式の解について、鋭い点付き減衰推定は何か？
• RQ2 事前推定をどのように用いることで、正の解についての径数的対称性結果を 1 < p < 2 の全範囲に拡張できるか？
• RQ3 D^{1,p}(R^n)における−Δ_p u = u^{p^*-1}の解の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ4 方程式のスケーリングに関して、解および勾配の減衰率を定量的に評価できるか？
• RQ5 中空領域上でのハーナック不等式が、正の解の下界を導くにはどのような条件下で成立するか？

主な発見

• 解 u は、すべての x ∈ R^n に対して、|u(x)| ≤ C₀ (1 + |x|)^{-(n−p)/(p−1)} および |∇u(x)| ≤ C₀ (1 + |x|)^{-(n−1)/(p−1)} を満たす。
• 定数 C₀ は n, p, Λ および u の L^{p^*-1,∞}(R^n) と W^{1,∞}(B(0,3r)) のノルムにのみ依存する。
• ∫_{R^n} f(x,u) dx > 0 を満たす正の解に対して、u(x) ≥ C₁ (1 + |x|)^{-(n−p)/(p−1)} が成り立ち、C₁ は n, p, λ, Λ および u の下界に依存する。
• 中空領域上でのハーナック不等式により、すべての R ≥ r に対して sup_{2R<|x|<5R} u(x) ≤ c₄ inf_{2R<|x|<5R} u(x) が成り立つ。ここで c₄ は R に依存しない。
• 事前推定とDamascelli–RamaswamyおよびLiの結果を組み合わせることで、D^{1,p}(R^n)における−Δ_p u = u^{p^*-1}のすべての正の解が径数的対称的かつ厳密に単調減少であることが示される。
• 系1.3は、Guedda–Véronの解 (1.10) が 1 < p < 2 に対して D^{1,p}(R^n) 内の唯一の正の解であることを確認する。