[論文レビュー] 4-Adic Complexity of Interleaved Quaternary Sequences

Shiyuan Qiang, Xiaoyan Jing+2 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自己相関が理想的な2つのバイナリーシーケンスをインタリーブして構築された四値シーケンスの4-adic複雑度の一般式を導出する。4-adic複雑度が $ olimits\log_4(4^n - 1)$ 以上であることを証明し、m-シーケンス、レジェンドル、ツインプライム、ホールシーケンスなどの標準的なバイナリーシーケンスに対しては、理論的最大値 $ olimits\log_4(4^{2n} - 1)$ に達するか、それに非常に近い値を示し、有理近似攻撃に対する強い耐性を確認する。

ABSTRACT

Tang and Ding \cite{X. Tang} present a series of quaternary sequences $w(a, b)$ interleaved by two binary sequences $a$ and $b$ with ideal autocorrelation and show that such interleaved quaternary sequences have optimal autocorrelation. In this paper we consider the 4-adic complexity $FC_{w}(4)$ of such quaternary sequence $w=w(a, b)$. We present a general formula on $FC_{w}(4)$, $w=w(a, b)$. As a direct consequence, we obtain a general lower bound $FC_{w}(4)\geq\log_{4}(4^{n}-1)$ where $2n$ is the period of the sequence $w$. By taking $a$ and $b$ to be several types of known binary sequences with ideal autocorrelation ($m$-sequences, twin-prime, Legendre, Hall sequences and their complement, shift or sample sequences), we compute the exact values of $FC_{w}(4)$, $w=w(a, b)$ and show that in most cases $FC_{w}(4)$ reaches or nearly reaches the maximum value $\log_{4}(4^{2n}-1)$. Our results show that the 4-adic complexity of the quaternary sequences defined in \cite{X. Tang} are large enough to resist the attack of the rational approximation algorithm.

研究の動機と目的

• 2つの自己相関が理想的なバイナリーシーケンスをインタリーブして得られる四値シーケンスの4-adic複雑度を分析すること。
• このようなインタリーブシーケンスの4-adic複雑度の一般式を確立すること。
• 暗号的応用において、有理近似アルゴリズムを回避するのに十分高い4-adic複雑度であるかどうかを評価すること。
• 自己相関が理想的な特定の既知のバイナリーシーケンスから導出されたシーケンスの正確な4-adic複雑度値を計算すること。

提案手法

• 四値シーケンスの整数表現を表す $S(4)$ を用いて、$FC_w(4) = \log_4\left(\frac{4^{2n}-1}{\gcd(S(4), 4^{2n}-1)}\right)$ の一般式を導出する。
• 中国剰余定理を用いて、奇数周期 $n \equiv 3 \pmod{4}$ の2つのバイナリーシーケンスからなるインタリーブシーケンスの構造を分析する。
• 円分数およびガウス和の性質を適用して、特定のバイナリーシーケンスに対して $S(4) \mod (4^{2n} - 1)$ を評価する。
• 4-adic複雑度を決定するために、最大公約数 $\gcd(S(4), 4^{2n} - 1)$ を分析する。
• 合同算術および素因数解析を含む数論的技術を用いて、$d = \gcd(S(4), 4^{2n} - 1)$ の正確な値を計算する。
• 大多数のシーケンス型に対して、$FC_w(4)$ が最大可能値 $\log_4(4^{2n} - 1)$ に達するか、それに非常に近い値をとることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相関が理想的な2つのバイナリーシーケンスをインタリーブして得られる四値シーケンスの4-adic複雑度の一般式は何か？
• RQ2 このようなインタリーブシーケンスの4-adic複雑度は、理論的最大値 $\log_4(4^{2n} - 1)$ と比べてどうなるか？
• RQ3 m-シーケンス、レジェンドル、ツインプライム、ホールシーケンスなどの特定のバイナリーシーケンスクラスに対して、4-adic複雑度の正確な値は何か？
• RQ4 4-adic複雑度は、有理近似アルゴリズムを回避するために必要な閾値 $\frac{N - 16}{6}$ を超えるか？
• RQ5 シーケンスの代数的構造に基づく数論的手法を用いて、4-adic複雑度を正確に計算できるか？

主な発見

• インタリーブされた四値シーケンスの4-adic複雑度は、$FC_w(4) \geq \log_4(4^n - 1)$ を満たし、ここで $2n$ はシーケンスの周期である。
• m-シーケンス、レジェンドルシーケンス、ツインプライムシーケンス、ホールシーケンスに対しては、4-adic複雑度が理論的最大値 $\log_4(4^{2n} - 1)$ に達するか、非常に近い値をとる。
• 周期 $p \equiv 3 \pmod{4}$ のm-シーケンスまたはレジェンドルシーケンスを用いた場合、$p \not\equiv 2 \pmod{5}$ であれば4-adic複雑度は正確に $\log_4(4^{2p} - 1)$ であり、$p \equiv 2 \pmod{5}$ であれば $\log_4\left(\frac{4^{2p} - 1}{5}\right)$ である。
• これらのバイナリーシーケンスの補数、シフト、サンプリング版から構築されたシーケンスの4-adic複雑度も依然として高く、多くの場合最大値またはそれに近い値を達成する。
• これらの結果により、このような四値シーケンスが有理近似アルゴリズムに対して安全であることが確認され、4-adic複雑度が必要な閾値 $\frac{N - 16}{6}$ を超えている。
• 分析により、4-adic複雑度は基礎となるバイナリーシーケンスの代数的構造に強く依存しており、数論的ツールを用いて正確に計算可能であることが示された。