[論文レビュー] 4 NON-OPTIMALITY OF CONSTANT RADII IN HIGH DIMENSIONAL CONTINUUM PERCOLATION

Jean-Baptiste Gouéré, Régine Marchand|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、高次元連続確率的グラフにおいて、定常半径が臨界被覆体積を最小化しないことを証明している—長年にわたる予想とは正反対である。半径が1とρの交互に配置された二種類のボレルモデルを用いて、十分に高い次元において、確率的または混合半径が決定的半径よりも低い臨界被覆体積をもたらすことを示した。この結果は、確率的支配と臨界強度の漸近的解析を用いて、定常半径の非最適性を裏付けている。

ABSTRACT

Consider a Boolean model $\\Sigma$ in $\\R^d$. The centers are given by a homogeneous Poisson point process with intensity $\\lambda$ and the radii of distinct balls are i.i.d.\\ with common distribution $\ u$. The critical covered volume is the proportion of space covered by $\\Sigma$ when the intensity $\\lambda$ is critical for percolation. Previous numerical simulations and heuristic arguments suggest that the critical covered volume may be minimal when $\ u$ is a Dirac measure. In this paper, we prove that it is not the case in sufficiently high dimension.

研究の動機と目的

• 高次元連続確率的グラフにおける臨界被覆体積を最小化するには定常半径が最適であるという広く信じられていた予想に反論すること。
• 確率的または混合半径分布が決定的半径よりも低い臨界被覆体積をもたらすかどうかを調査すること。
• 確率的支配と漸近的解析を用いて、高次元における定常半径の非最適性を厳密に確立すること。
• 高次元空間における正規化臨界強度の振る舞いと、それが半径分布に依存する仕組みを分析すること。

提案手法

• 強度λのポisson点過程によって中心が与えられるℝ^dにおける、半径1とρの二種類の球からなる二種類のボレルモデルを構築する。
• 階層的なグリッド構造（W_{a,n}）上のサイト過程を定義し、レベル間を横断する交互に配置された半径のパスを追跡する。
• 格子上の向き付き確率的グラフを用いて、二種類のボレルモデルにおけるパスの存在を確率的に支配する。
• 確率的支配を、臨界閾値p_cより大きなパラメータpをもつベルヌーイ向き付き確率的グラフによって確立し、無限に続くオープンパスが正の確率で存在することを保証する。
• 二種類のモデルから得られる境界を用いて、d → ∞における臨界強度λ_d^c(μ_d)の漸近的挙動を分析する。
• 臨界被覆体積のスケーリング不変性を適用し、スケールに依存しない形で異なる半径分布を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元連続確率的グラフにおいて、すべての半径が定常的（Dirac測度）である場合に臨界被覆体積が最小化されるか？
• RQ2 半径が1とρの交互に配置された二種類のボレルモデルは、高次元において単一半径モデルよりも低い臨界被覆体積を達成できるか？
• RQ3 混合半径分布に対して、次元d → ∞における正規化臨界強度の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 混合半径測度に対して臨界被覆体積は0から正しく離れているか？また、定常半径の場合より厳密に小さくできるか？
• RQ5 臨界強度λ_d^c(ν)はνがDirac測度のときに最小化されるか？それとも高次元において他の分布がより低い値をもたらすか？

主な発見

• 高次元において、臨界被覆体積は定常半径によって最小化されない。これは、Dirac分布半径が最適であるという予想とは正反対の結果である。
• 任意のρ > 0に対して、ある次元d_0が存在し、すべてのd > d_0において、半径が1とρの二種類のモデルの臨界被覆体積は、定常半径モデルのそれよりも厳密に小さい。
• 半径が1とρの二種類の測度μ_dをもつ正規化臨界強度̃λ_d^c(μ_d)について、lim_{d→∞} (1/d) ln(λ_d^c(μ_d)) = ln(κ^c_ρ)が成り立つ。ここでκ^c_ρは二種類のモデルの臨界閾値である。
• 高次元において、二種類のモデルの臨界被覆体積は1に限りなく近づけることができるが、定常半径の場合には1から正しく離れている。
• 十分に大きな次元において、混合半径の臨界被覆体積は定常半径のそれよりも厳密に小さくなる。これは、定常半径の非最適性を証明する。