[論文レビュー] $4$-uniform BCT permutations from generalized butterfly structure

Nian Li, Zhao Hu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2020

Cryptographic Implementations and Security参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限体 $\mathbb{F}_{2^{4k+2}}$ 上の6番目の無限族の置換が、一般化されたバタフライ構造を用いて構成され、4一様なブーメラン接続性表（BCT）を持つことが提示されている。トレース関数と有限体上の不変量を分析することで、著者らは、これらの置換が微分的およびブーメラン型の暗号解析に対して最適な耐性を達成することを証明しており、偶数次元のベクトル空間における既知の構成を拡張している。

ABSTRACT

As a generalization of Dillon's APN permutation, butterfly structure and generalizations have been of great interest since they generate permutations with the best known differential and nonlinear properties over the field of size $2^{4k+2}$. Complementary to these results, we show in this paper that butterfly structure, more precisely the closed butterfly also yields permutations with the best boomerang uniformity, a new and important parameter related to boomerang-style attacks. This is the sixth known infinite family of permutations in the literature with the best known boomerang uniformity over such fields.

研究の動機と目的

• 偶数次元、特に $n \equiv 2 \pmod{4}$ の場合に、4一様なブーメラン接続性表（BCT）を持つ新しい置換を構成すること。この場合、APN置換は未解決である。
• 最良のBCT特性を持つ既知の置換族を拡張し、より高い偶数次元におけるこのような関数の構成という未解決問題に取り組むこと。
• 一般化されたバタフライ構造が、既存の微分均一性に関する結果を補完する形で、最高の既知のブーメラン均一性を達成する置換を生成することを示すこと。

提案手法

• 置換を各 $y$ に対して誘導する2変数多項式 $R(x,y)$ を用いて定義される $\mathbb{F}_{2^m} \times \mathbb{F}_{2^m}$ 上の閉じたバタフライ構造を用いる。
• 有限体上のトレース関数と代数的恒等式を用いて、ブーメラン接続性表（BCT）の要素を分析する。
• 変数 $z$, $\overline{z}$, $\theta$ を含む式の不変性を適用し、$Z_a = \{a, \eta_a, a + \eta_a\}$ 上で $\operatorname{Tr}_1^n(\Delta_z)$ が制御された方法で消えることを示す。
• BCT方程式の解の数 $S_F(a,b)$ のトレースに基づく特徴づけを用い、最大値が4以下であることを示す。
• 対称的恒等式および $\phi(z)$, $H(z)$, $E(z)$ を用いた代入を用いて、BCT要素を代数的に簡略化・評価する。
• トレースの挙動に応じて、すべての $a,b \neq 0$ に対して $S_F(a,b) \leq 4$ または $S_F(a,b) = 0$ が成り立つことを示すことにより、$\beta(F) \leq 4$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたバタフライ構造は、偶数次元 $n \equiv 2 \pmod{4}$ において、4一様なBCTを持つ置換を生成できるか？
• RQ2 閉じたバタフライ構成は、既知の族と同等またはそれ以上の最良のブーメラン均一性を持つ関数を生成するか？
• RQ3 このような構成におけるBCT要素の挙動を支配する代数的不変量およびトレース恒等式は何か？

主な発見

• 提案された置換族は $\beta(F) \leq 4$ を達成しており、4一様なブーメラン均一性が確認された。
• この構成により、$\mathbb{F}_{2^{4k+2}}$ 上で4一様なBCTを持つ置換の6番目の既知の無限族が得られ、文献における空白を埋めている。
• 証明は、$\operatorname{Tr}_1^m(\Delta_z) = 0$ が $Z_a$ のうち高々1つの $z$ に対して成り立つ、またはすべての $z \in Z_a$ に対して成り立つことを示すことに依存しており、これにより解の数が有界になる。
• $\operatorname{Tr}_1^m(\Delta_z) = 0$ がすべての $z \in Z_a$ に対して成り立つ場合、BCT要素 $S_F(a,b) = 0$ となり、均一性の爆発が防がれる。
• $E(z)$ の不変性と $Z_a$ 上のトレース恒等式は、BCT方程式の解の数を有界にする上で極めて重要である。
• 合成逆関数の明示的計算を避けて、代わりに対称的トレース恒等式を用いることで、BCT要素を効率的に評価している。