[論文レビュー] 4d N=1 from 6d (1,0)

Shlomo S. Razamat, Cumrun Vafa+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、リーマン面への6次元 $(1,0)$ SCFTの compactification から4次元 ${\cal N}=1$ 超共形場理論（SCFT）を構成するための幾何的枠組みを確立する。共形多様体はリーマン面の複素構造モジュライと6次元のフルイダンス・スヤメトリーの平坦接続によって決定され、2つのM5ブレーンが $\mathbb{Z}_2$ 特異点上にある場合の異常数と指標の明示的計算により、6次元の期待と整合することが確認された。

ABSTRACT

We study the geometry of 4d N=1 SCFT's arising from compactification of 6d (1,0) SCFT's on a Riemann surface. We show that the conformal manifold of the resulting theory is characterized, in addition to moduli of complex structure of the Riemann surface, by the choice of a connection for a vector bundle on the surface arising from flavor symmetries in 6d. We exemplify this by considering the case of 4d N=1 SCFT's arising from M5 branes probing Z_k singularity compactified on a Riemann surface. In particular, we study in detail the four dimensional theories arising in the case of two M5 branes on Z_2 singularity. We compute the conformal anomalies and indices of such theories in 4d and find that they are consistent with expectations based on anomaly and the moduli structure derived from the 6 dimensional perspective.

研究の動機と目的

• 6次元 $(1,0)$ SCFT の compactification データとそれによって得られる4次元 ${\cal N}=1$ SCFT の間の直接的な対応関係を確立すること。
• compactification から生じる4次元 ${\cal N}=1$ SCFT の共形多様体を特徴づけ、それがリーマン面の複素構造モジュライとフルイダンス・スヤメトリーの平坦接続に依存することを示すこと。
• 6次元異常数多項式の還元と強い結合のラグランジュアン記述の両方を用いて、4次元での共形異常数と超対称的指標を計算・検証すること。
• 特に2つのM5ブレーンが $\mathbb{Z}_2$ 特異点を調べる場合の明示的例を通じて、6次元と4次元のデータの整合性を示すこと。
• 4次元理論の双対性の性質が、TQFTに類似た構造と差分作用素の固有関数を介して超対称的指標に符号化されていることを示すこと。

提案手法

• 共形多様体の次元は、$\text{dim}{\cal M}_{g,0} = 3g-3 + (g-1)\text{dim}\,G^{\text{max}} + \text{dim}\,L$ として導出され、ここで $G^{\text{max}} = L \times G'$ であり、$L$ はアーベル的で $G'$ は非アーベル的である。
• 4次元での異常数は、リーマン面上への6次元異常数多項式の積分により計算され、フラックス $c_1(L) \in \mathbb{Z}^{\text{dim}(L)}$ の寄与を含む。
• 構成には、特異点で強い結合のSCFTに流れ込む弱結合ラグランジュアンが用いられ、強い結合領域で拡張されたグローバルスヤメトリーを持つ。
• 超対称的指標は、差分作用素の固有関数 $\psi_\lambda$ を用いて計算され、指標は $\lambda$ でラベル付けられた表現の和として表され、双対性構造を符号化する。
• 指標構造は、最大の穴が最小の穴に分裂するときの積の恒等式を満たし、特に $G^{\text{max}} = so(5) \times u(1)$ の場合に成り立つ。
• 固有関数 $\hat{\psi}_\lambda$ に対して非線形積分方程式が導出され、TQFT手法による正確な解法の可能性が示唆される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元 $(1,0)$ の compactification から生じる4次元 ${\cal N}=1$ SCFT の共形多様体のモジュライは、リーマン面とフルイダンス・スヤメトリーの接続にどのように依存するか？
• RQ2 6次元のアーベル的フルイダンス・スヤメトリーのためのフラックス $c_1(L)$ と、それによって生じる4次元異常数係数および共形多様体次元の正確な関係は何か？
• RQ3 このような4次元SCFTの超対称的指標はどのように計算され、双対性と穴構造に何を明らかにするか？
• RQ4 4次元ラグランジュアン構成から得られた異常数と指標は、6次元異常数多項式の還元から得られるものとどの程度一致するか？
• RQ5 $G^{\text{max}} = so(5) \times u(1)$ の場合に、差分作用素の固有関数の間の非自明な恒等式を指標構造から導出できるか？

主な発見

• 穴のない genus $g$ リーマン面に対する共形多様体の次元は、$\text{dim}{\cal M}_{g,0} = 3g-3 + (g-1)\text{dim}\,G^{\text{max}} + \text{dim}\,L$ で与えられ、$(g-1)$ の $-1$ 項は基本群と非アーベルゲージスヤメトリーに起因する。
• genus $g > 1$ のリーマン面上に2つのM5ブレーンが $\mathbb{Z}_2$ 特異点上にある場合、4次元ラグランジュアンから得られた異常数と中心荷重は、フラックス $c_1(L)$ を用いて6次元異常数多項式を表面に積分することで得られる値と一致する。
• 4次元理論の超対称的指標は、$\mathcal{I}_{g,s} = \sum_{\lambda} (C_\lambda(t,\gamma))^{2g-2+s} \prod_{j=1}^s \psi_\lambda(\mathbf{u}_j; t,1,1)$ の形で表され、双対性と穴構造を符号化している。
• $\beta = \gamma = 1$ のとき、2つの最小穴指標の積 $\phi_\lambda(\delta; t,1,1)^2$ は $C_\lambda(t) \psi_\lambda(\delta\alpha, \delta/\alpha; t,1,1)$ に等しく、2つの最小穴が1つの最大穴に結合することが示された。
• 固有関数 $\hat{\psi}_\lambda$ に対して非線形積分方程式が導出され、2つの $\hat{\psi}_\lambda$ 関数の積が4穴球面の指標の輪郭積分に帰着されることから、解ける構造であることが示唆された。
• $so(5) \times u(1)$ 理論の指標構造はTQFTに類似た合成則を満たし、3つの最大穴を持つ球面の指標は $\mathcal{I} = \sum_{\lambda} C_\lambda(t) \psi_\lambda(\mathbf{u}; t,1,1) \psi_\lambda(\mathbf{v}; t,1,1) \psi_\lambda(\mathbf{w}; t,1,1)$ で与えられる。