[論文レビュー] ..., 83106786, 114382724, 1509048322, 2343463290, 27410087742, ... Efficient Hilbert Series for Effective Theories

Coenraad Marinissen, Rahn, Rudi+1 more|Utrecht University Repository (Utrecht University)|Apr 20, 2020

Matrix Theory and Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

この論文では、特に標準模型効果的場理論（SMEFT）およびその拡張である、対称性と重力を含む高次元演算子を含むモデルにおいて、独立な演算子を数えるための、ヒルベルト級数法の形式的実装であるEcoを提示する。アルゴリズムの構造を最適化し、Formの計算能力を活用することで、単一のCPUコア上でSMEFTにおける次元20の演算子の数を1時間未塔で計算可能となり、対称性と重力を含む高次元演算子の迅速なモデル構築と素性解析が可能になる。

ABSTRACT

We present an efficient algorithm for determining the Hilbert series of an effective theory and provide a companion code called ECO (Efficient Counting of Operators) in FORM. For example, the Hilbert series for the dimension 15 operators in the Standard Model Effective Theory (SMEFT) can be obtained in a minute on a single CPU core. While our implementation focusses on SMEFT, we allow for a flexible user input of the light degrees of freedom. Furthermore, gravity, as well as additional U(1) global or gauge symmetries can be included.

研究の動機と目的

• 高次元演算子基底のための、高速でスケーラブルなヒルベルト級数計算アルゴリズムの開発。特に、高次元演算子基底の有効場理論（EFT）において。
• SMEFTおよびその拡張（例：GRSMEFT、追加のU(1)対称性を持つモデル）における独立な演算子の数え上げにおける計算ボトルネックの解消。
• モデル構築および素性解析に使用可能な、使いやすく拡張可能なコードベース（Eco）の提供。重力やグローバル対称性を含む、柔軟な場の内容をサポート。

提案手法

• ヒルベルト級数形式を用いて、EFTにおけるゲージ不変およびローレンツ不変な演算子を数える。キャラクターと群表現論を用いて、スレート状態への射影を実行する。
• プレチスティック指数を用いて微分を統合し、積分-by-partsおよび運動方程式の冗長性は、対称性と表現論的射影を用いて処理する。
• 高速な記号的計算システムであるFormを実装に用い、テンソルおよび群論的縮約を加速することで、従来の手法と比べて桁違いの高速化を実現する。
• モジュラーな入力構文により、スピン、ゲージ電荷、および追加のU(1)対称性（例：バリオン数）を含む、場の量子数をユーザーが定義可能である。
• ラリタ＝シュヴィンガー場を用いて重力を含めることが可能であり、追加の軽いスカラー、ベクトル、フェルミオンの導入も拡張可能である。
• ヒルベルト級数は、場と微分の個数を変数とする母関数として計算され、結果は演算子の次元と場の内容ごとに整理される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効場理論におけるヒルベルト級数計算を、高次元演算子基底を効率的に処理できるようにどのように高速化できるか？
• RQ2 対称性と複数世代を含むSMEFTにおいて、次元20までの独立な演算子の数は何か？
• RQ3 重力（GRSMEFT）や追加のU(1)グローバル対称性（例：B-L）の導入が、演算子の数え上げと計算複雑度に与える影響は何か？
• RQ4 ヒルベルト級数法を、Formのような高性能記号計算システムに効率的に実装することで、モデル構築における実用的応用が可能になるか？
• RQ5 フェルミオンの世代数と場の統計（ボソン／フェルミオン）が、SMEFTにおける演算子スペクトルに与える影響は何か？

主な発見

• 1世代のSMEFTにおいて、次元15のヒルベルト級数は単一CPUコアで1分未塔で計算可能であり、次元20までの全基底は1時間未塔で計算可能である。
• 3世代の場合、SMEFTにおける次元20の演算子数は27,410,087,742であり、単一コアで約3,410秒（57分）で計算された。
• SMEFTの次元15までの既知の結果を再現し、それらを拡張しており、次元6の2HDMでは22,800の演算子が含まれる。
• 重力を含むGRSMEFTでは、SMEFTと比較して計算時間が約2倍に増加するが、依然として高次元解析に実用的である。
• コードは、1世代のSMEFTにおいて、次元10までのすべての偶数次元演算子がB-Lを保存することを正しく特定しており、奇数次元演算子は保存しない。複数世代では、例としてh⁴ℓ₁²ℓ₂²がB-Lを破壊することが明示的に示された。
• Ecoコードにより、B-L保存演算子の効率的な数え上げが可能となり、対称性フィルタリングのおかげで、標準SMEFT計算と比較して10%の高速化が達成された。