[論文レビュー] A 1-cohomology characterization of property (T) in von Neumann algebras

Jesse Peterson|ArXiv.org|Sep 27, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト双代数への閉可導分の1次コホモロジーの消滅と関連付けることで、分離可能な有限フォンノイマン代数における性質(T)のコホモロジー的特徴付けを確立する。GNS型の構成を用いて、条件的完全負値写像とその関連する完全正値写像の半群との間の対応を確立し、デローム＝ギシャルデュの定理をフォンノイマン代数へと拡張する。有限因子が性質(T)を持つことと、非Γ集合を含む定義域を持つすべての閉可導分が内導分であることとは同値であることを示す。

ABSTRACT

We obtain a characterization of property (T) for von Neumann algebras in terms of 1-cohomology similar to the Delorme-Guichardet Theorem for groups.

研究の動機と目的

• 性質(T)を1次コホモロジーを通じて特徴付けることにより、離散群からフォンノイマン代数へデローム＝ギシャルデュの定理を拡張すること。
• フォンノイマン代数の文脈において、GNS型の構成を用いて、閉可導分と条件的完全負値写像との間の対応を確立すること。
• ヒルベルト双代数への導分を用いた、分離可能な有限因子における性質(T)のコホモロジー的基準を確立すること。
• 特徴付けを応用して、特定の有限フォンノイマン代数のアンモリゲートド自由積が性質(T)を持たないことを示すこと。

提案手法

• 有限フォンノイマン代数の弱密な*-部分代数上で、トレースに関して条件的完全負値（c.c.n.）写像を定義する。
• GNS型の構成を用いて、各c.c.n.写像に閉可導分を関連付け、導分とこのような写像との間の双対性を確立する。
• 半群の生成作用素を介して、c.c.n.写像と完全正値写像の半群との関係を関係づけ、エヴァンズの枠組みを有界でない写像へと拡張する。
• 関連するc.c.n.写像とその半群の有界性の性質を用いて、内導分を特徴付ける。
• コホモロジー的基準を適用し、導分が内導分でない場合、関連するc.c.n.写像が特定の要素上で無限に成長することを示す。
• アンモリゲートド自由積の構造と、Bへの射影が0であるユニタリの存在を用いて、非内導分を構成し、このような代数が非-(T)であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォンノイマン代数における性質(T)は、閉可導分の1次コホモロジーの消滅によって特徴付けられるか。
• RQ2 群に対するデローム＝ギシャルデュの定理は、フォンノイマン代数の文脈へどのように一般化できるか。
• RQ3 有限フォンノイマン代数において、閉可導分、条件的完全負値写像、完全正値写像の半群との間の正確な関係は何か。
• RQ4 アンモリゲートド自由積として得られる有限フォンノイマン代数が性質(T)を持たないのはどのような条件下か。
• RQ5 コホモロジー的特徴付けにおいて、非Γ集合の役割は何か。

主な発見

• 分離可能な有限因子が性質(T)を持つことと、非Γ集合を含む定義域を持つすべての閉可導分が内導分であることとは同値である。
• 主定理は、性質(T)、導分の1次コホモロジーの消滅、および非Γ集合を含む定義域上でのすべての導分の内導分性の間の同値性を確立する。
• 性質(T)を持つ有限因子が、連続スペクトルを持つ要素によって生成される場合、共役変数はすべてL²(N,τ)に属するとは限らず、Φ*(X₁,…,Xₙ)=∞であることが示唆される。
• ユニタリuᵢ∈𝒰(Nᵢ)がE_B(uᵢ)=0を満たす有限フォンノイマン代数N₁⁎_B N₂のアンモリゲートド自由積Mは、性質(T)を持たない。
• 非内導分に対応するc.c.n.写像Ψは、‖Ψ((u₁u₂)ⁿ)‖₂ → ∞（n→∞）を満たすが、‖Ψ((u₁u₂)ⁿ)‖₂ / ‖Ψ((u₁u₂)ⁿ)‖は0に収束しないため、性質(T)に必要な有界性条件を満たさない。
• 導分δによって生成される半群は、φ_t = (e^{-2t}id + (1−e^{-2t})E_B)*_B idとして明示的に計算できる。