[論文レビュー] A^1-connected components of schemes

Chetan Balwe, Amit Hogadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿はA¹ホモトピー論におけるスキームのA¹-連結成分を調査し、非有理被覆でない曲面におけるモレルの予想（A¹不変性）を証明するとともに、アソク＝モレルのA¹鎖連結性および被約的不変性に関する予想に対する反例を構成する。A¹鎖成分の層L(F)を導入し、モレルの予想が成り立つならばπ₀^{A¹}(F) ≅ L(F)が成り立ち、この同型の明示的基準を与える。

ABSTRACT

A conjecture of Morel asserts that the sheaf of A^1-connected components of a simplicial sheaf X is A^1-invariant. A conjecture of Asok-Morel asserts that A^1-connected components of smooth k-schemes coincide with their A^1-chain-connected components and are birational invariants of smooth proper schemes. In this article, we exhibit examples of schemes for which Asok-Morel's conjectures fail to hold and whose Sing_* is not A^1-local. We also give equivalent conditions for Morel's conjecture to hold. A method suggested by these results is then used to prove Morel's conjecture for non-uniruled surfaces over a field k.

研究の動機と目的

• 滑らかなスキーム上のシンプレキシャル層に対して、π₀^{A¹}(X)がA¹不変であるというモレルの予想の妥当性を調査すること。
• アソクとモレルが提唱した予想、すなわちπ₀^{A¹}(X)が滑らかでかつ固有なスキームに対してA¹鎖連結成分と一致し、被約的不変であるかどうかを検証すること。
• 特にA¹局所性と被約的不変性の文脈において、これらの予想に対する明示的な反例を構成すること。
• モレルの予想が成り立つための同値条件を提示し、π₀^{A¹}(X)の予想的な明示的記述を与えること。

提案手法

• Nisnevich層Fに対して、A¹鎖連結成分の層L(F) := lim→ Sⁿ(F)を定義し、これがA¹不変であることを示す。
• A¹_Uの基本的Nisnevich被覆上でのA¹ゴーストホモトピーの構成により、Sing*のA¹局所性の欠如を検出する。
• 例えばアーベル多様体の吹き上げを用いて、π₀^{A¹}(X)が被約的不変でない明示的なスキームXを構成する。
• 非有理被覆でない曲面に対して、A¹ホモトピーが剛性を持つ曲線を通じて因子化され、重要な点を避けることにより、モレルの予想が成り立つことを証明する。
• A¹剛性を持つスキーム（例えばアーベル多様体）はπ₀^{A¹}(X) ≅ Xを満たすため、明示的な計算が可能になることを利用する。
• Nisnevich位相における吹き上げの非エピモルフィズム性を用いて、π₀^{A¹}の被約的不変性を否定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備体上の滑らかなスキーム上のシんぷりくタル層に対して、モレルの予想であるπ₀^{A¹}(X)がA¹不変であるか、という問い。
• RQ2 アソクとモレルが提唱したように、すべての滑らかなスキームに対してA¹-連結成分の層とA¹鎖連結成分の層が一致するか。
• RQ3 体上の滑らかでかつ固有なスキームに対して、π₀^{A¹}(X)は被約的不変か。
• RQ4 A¹鎖成分の層L(F)がπ₀^{A¹}(F)と同型となる条件は何か。
• RQ5 Nisnevich被覆上でのA¹ゴーストホモトピーは、Sing*のA¹局所性の欠如を検出できるか。

主な発見

• 任意のNisnevich層Fに対して、A¹鎖連結成分の層L(F) := lim→ Sⁿ(F)はA¹不変である。
• モレルの予想が成り立つならば、π₀^{A¹}(F) ≅ L(F)が成り立ち、A¹-連結成分の予想的な明示的記述が得られる。
• Sing*がA¹局所でない反例が構成され、アソク＝モレルのA¹鎖連結性に関する予想が成立しないことが示された。
• π₀^{A¹}(X)は被約的不変ではない：次元≥2のアーベル多様体Xに対して、点の吹き上げにより得られるYについて、π₀^{A¹}(Y)はπ₀^{A¹}(X)と同型でない。
• 完備体上の非有理被覆でない曲面に対して、モレルの予想（π₀^{A¹}(X)のA¹不変性）は成り立つ。これは有理曲線の剛性とA¹ホモトピーによる点の回避を用いて証明される。
• Nisnevich被覆上でのA¹ゴーストホモトピーの構成は、Sing*のA¹局所性の欠如およびアソク＝モレルの予想の失敗を検出する一般的手法を提供する。