[論文レビュー] A 1-dimensional family of Enriques surfaces in characteristic 2 covered by the supersingular K3 surface with Artin invariant 1

Toshiyuki Katsura, Shigeyuki Kondō|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は特徴2の代数的・超特異なエヌリクス表面の1次元族を構成し、その標準被覆がアーツィン不変量1の超特異K3表面である。この表面に30個の非特異有理曲線と10個の非有効な$(-2)$-除釈を同定し、それらの反射群がネロン・セベリ格子の torsion を除いた直交群において有限指数を持つことを示した。また、関連する多面体の自己同型群は$\mathfrak{S}_6 \cdot \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$に同型である。構成はFrobeniusの基本変換と、$I_6$ファイバーをもつ楕円的K3表面上の有理ベクトル場に依存する。

ABSTRACT

We give a 1-dimensional family of classical and supersingular Enriques surfaces in characteristic 2 covered by the supersingular K3 surface with Artin invariant 1. Moreover we show that there exist 30 nonsingular rational curves and ten non-effective (-2)-divisors on these Enriques surfaces whose reflection group is of finite index in the orthogonal group of the Neron-Severi lattice modulo torsion.

研究の動機と目的

• 特徴2におけるアーツィン不変量1の超特異K3表面を被覆する1次元族のエヌリクス表面を構成すること。
• これらのエヌリクス表面のネロン・セベリ格子の torsion を除いた幾何学的性質を分析すること。
• エヌリクス表面に存在する30個の非特異有理曲線と10個の非有効な$(-2)$-除釈を同定・研究すること。
• これらの$(-2)$-除釈によって生成される反射群の構造と、ネロン・セベリ格子の直交群との関係を特定すること。
• 対称群$\mathfrak{S}_6$と外部自己同型の作用を通じて、エヌリクス表面の自己同型群を調査すること。

提案手法

• 方程式$y^2 + y + x^3 + s x (y^2 + y + 1) = 0$で定義される$\mathbb{P}^1$上の楕円的表面を構成し、$s = 1, \omega, \omega^2, \infty$で$I_3$ファイバーを持つ。
• Frobeniusの基本変換$s = t^2$を適用し、12個の$A_1$型の有理的二重特異点を持つ新たな楕円的表面を得る。これにより、アーツィン不変量1の超特異K3表面$Y$が得られる。
• パrameters$a, b \in k$を用いて$a + b = ab$かつ$a^3 \neq 1$を満たす有理ベクトル場$D$を$Y$上に定義し、$D$の作用による商を取ることでエヌリクス表面$X = X_{a,b}$を得る。
• $Y$上に42個の有理曲線（4つの$I_6$ファイバーの成分と18本のセクション）を同定し、商写像を通じて$X$上に30個の有理曲線へと降下させる。
• $\text{Num}(X)$内の15個のデュアド（互換）、15個のシンセム（3つの互換の積）、および10個の$(-2)$-除釈からなるグラフ$\Gamma$を構成し、その放物的部分図形を分析する。
• ヴィンバーグの双曲的反射群理論を用いて、反射群$W(\Gamma)$が$\text{O}(\text{Num}(X))$において有限指数を持つことを示し、関連多面体の自己同型群を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーツィン不変量1の超特異K3表面を被覆する特徴2のエヌリクス表面のネロン・セベリ格子の torsion を除いた構造は何か？
• RQ2 このようなエヌリクス表面に存在する非特異有理曲線と非有効な$(-2)$-除釈の数はいくつで、それらの幾何的配置はどのようなものか？
• RQ3 これらの$(-2)$-除釈によって生成される反射群がネロン・セベリ格子の直交群内に占める指数は何か？
• RQ4 エヌリクス表面の自己同型群は、対称群の作用と外部自己同型を用いて記述可能か？
• RQ5 被覆K3表面におけるクレモナ変換は、エヌリクス表面への自己同型へと降下するか？

主な発見

• 本稿は、$a + b = ab$かつ$a^3 \neq 1$を満たす$a, b \in k$によってパrameter化される1次元族のエヌリクス表面を構成し、$a = b = 0$のとき超特異エヌリクス表面が得られ、それ以外の場合は古典的エヌリクス表面が得られる。
• エヌリクス表面$X_{a,b}$には正確に30個の非特異有理曲線と10個の非有効な$(-2)$-除釈が存在し、それらの双対グラフ$\Gamma$は$\mathfrak{S}_6$におけるデュアド、シンセム、置換のインシデント構造に対応する。
• 40個の$(-2)$-除釈による反射群$W(\Gamma)$は、ネロン・セベリ格子の torsion を除いた直交群$\text{O}(\text{Num}(X))$において有限指数を持つ。
• 関連多面体$D(\Gamma)$の自己同型群は$\mathfrak{S}_6 \cdot \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$に同型であり、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$因子は$\mathfrak{S}_6$の外部自己同型に由来する。
• $W(\Gamma)$は40個の$(-2)$-除釈による反射によって生成され、その作用により符号を除き直交群全体が実現される。
• あるクレモナ変換が被覆K3表面上で降下すると仮定すれば、自己同型群$\text{Aut}(X)$は$\mathfrak{S}_6 \cdot \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$と、10個の非有効な$(-2)$-除釈に関する反射群$G$によって生成され、有限群を除き完全に記述可能である。