[論文レビュー] A ℓ1-PREDUAL WHICH IS NOT ISOMETRIC TO A QUOTIENT OF C(α)

Dale E. Alspach|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 1992

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、K が可算コンパクト距離空間であるとき、すべての ℓ¹-予対双対が C(K) 空間の商空間に等長同型でないことを示しており、Johnson と Zippin の L¹(μ)-予対双対に関する以前の結果とは対照的である。可算順序数 α に対して、C(α) の任意の商空間に等長同型でない ℓ¹-予対双対を構成することで、L¹(μ)-予対双対定理の自然な類似定理が ℓ¹ の文脈では成り立たないことを示している。

ABSTRACT

Abstract. About twenty years ago Johnson and Zippin showed that every separable L1(µ)-predual was isometric to a quotient of C(∆), where ∆ is the Cantor set. In this note we will show that the natural analogue of the theorem for ℓ1-preduals does not hold. We will show that there are many ℓ1–preduals which are not isometric to a quotient of any C(K)-space with K a countable compact metric space. We also prove some general results about the relationship between ℓ1-preduals and quotients of C(K)-spaces with K a countable compact metric space. About 20 years ago Johnson and Zippin [J-Z] proved the following theorem. Theorem. Suppose that X is a separable L1(µ)-predual, then there is subspace Y of C(∆), where ∆ is the Cantor set, such that X is isometric to C(∆)/Y. Because the space X might be C(∆), C(∆) is the smallest L1(µ)-predual that one could use for such a result. If we consider the class of ℓ1-preduals then it is conceivable that a smaller space might be sufficient although the space would need to depend on some measurement of the size of the ℓ1-predual. A natural class of spaces to consider is the spaces C(α) where α is a countable ordinal. (This is the

研究の動機と目的

• L¹(μ)-予対双対に関する古典的結果（すなわち、それらが C(∆) の商空間に等長同型であるという主張）が ℓ¹-予対双対へと拡張可能かどうかを調査すること。
• K が可算コンパクト距離空間であるとき、ℓ¹-予対双対が C(K) 空間の商空間として表現可能かどうかを特定すること。
• 特に等長表現の文脈において、ℓ¹-予対双対と可算 K に対する C(K) の商空間との間の構造的差異を調査すること。
• K が可算かつコンパクトであるとき、ℓ¹-予対双対と C(K) の商空間との間の一般的な関係を確立すること。
• 可算順序数 α に対して、C(α)/Y に等長同型でない具体的な ℓ¹-予対双対の例を構成すること（Y は任意の閉部分空間）。

提案手法

• 関数解析学およびバナッハ空間論の技法を適応して、ℓ¹-予対双対の構造を分析すること。
• 特に可算順序数 α に対して C(α) を含む、可算コンパクト距離空間 K に対する C(K) 空間の性質を用いること。
• C(K) に対して可算かつコンパクトな K をとるとき、任意の商空間に等長同型でない特定の ℓ¹-予対双対を構成すること。
• 双対性の議論を適用し、予対双対の構造を検討することで、商空間としての等長表現が不可能であることを示すこと。
• 既知の L¹(μ)-予対双対に関する結果を活用し、それらの構造を ℓ¹-予対双対の構造と比較すること。
• 基になるコンパクト空間 K の位相的および順序論的性質を分析することで、非等長埋め込みを導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の可分な ℓ¹-予対双対は、ある可算コンパクト距離空間 K に対して C(K) の商空間に等長同型として表現可能か？
• RQ2 L¹(μ)-予対双対に関する古典的結果（すなわち、それらが C(∆) の商空間であるという主張）は、ℓ¹-予対双対の文脈へと拡張可能か？
• RQ3 特定の ℓ¹-予対双対が、可算順序数 α および任意の閉部分空間 Y に対して C(α)/Y に等長同型でないような構造的障害は存在するか？
• RQ4 バナッハ空間が、K が可算かつコンパクトであるような C(K) の商空間に等長同型であるための条件は何か？
• RQ5 等長表現の観点から、ℓ¹-予対双対の性質と L¹(μ)-予対双対の性質にはどのような相違があるか？

主な発見

• K が可算コンパクト距離空間であるとき、C(K) の任意の商空間に等長同型でない ℓ¹-予対双対が存在する。
• Johnson と Zippin の L¹(μ)-予対双対定理の自然な類似定理は、ℓ¹-予対双対には成り立たない。
• 可算順序数 α および任意の閉部分空間 Y に対して、C(α)/Y に等長同型でない特定の ℓ¹-予対双対を構成可能である。
• 可算コンパクト K に対する C(K) の商空間のクラスは、等長表現の観点から ℓ¹-予対双対のクラスよりも厳密に小さい。
• この論文は、可算 K に対して C(K) の商空間でない ℓ¹-予対双対の一般的な構造的制約を確立している。
• 結果として、C(∆)（カントール集合空間）は、L¹(μ) の場合とは異なり、ℓ¹-予対双対の普遍的商空間として不十分であることが示された。