[論文レビュー] A 2-cocycle on a group of symplectomorphisms

Р. С. Исмагилов, Mark Losik+1 more|ArXiv.org|Oct 5, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、第一実コホモロジー群が自明で、正確なシンプレクティック形式を持つ非コンパクトなシンプレクティック多様体のシンプレクティズム群に非自明な2次コホモロジーを構成する。コホモロジーは、基点からの経路に沿って引き戻された原始1形式の積分によって定義され、非自明な中心拡大を誘導する。主な結果は、このコホモロジーが対称ヘルミート空間 G/K に制限されたとき非自明であることを示しており、これはシンプレクティズム群全体に対しても非自明であることを意味する。

ABSTRACT

For a symplectic manifold $(M,\om)$ with exact symplectic form we construct a 2-cocycle on the group of symplectomorphisms and indicate cases when this cocycle is not trivial.

研究の動機と目的

• 正確なシンプレクティック形式と H¹(M,ℝ)=0 を持つシンプレクティック多様体のシンプレクティズム群に2次コホモロジーを構成すること。
• このコホモロジーが特定の対称ヘルミート空間 G/K に制限されたとき非自明であることを示すこと。
• このコホモロジーがシンプレクティズム群の非自明な中心拡大を誘導することを確立すること。
• 関連するリー代数コホモロジーを分析し、それが非自明となる条件を同定すること。
• 体積保存微分同相群およびコンパクト台付きシンプレクティズム群に既知のコホモロジーと比較すること。

提案手法

• 固定された基点 $ x_0 $ と $ d\omega_1 = \omega $ を満たす原始1形式 $ \omega_1 $ を用いて、$ C_{x_0}(g_1, g_2) = \int_{x_0}^{g_2 x_0} (g_1^* \omega_1 - \omega_1) $ として2次コホモロジーを定義する。
• $ H^1(M,\mathbb{R}) = 0 $ を用いて、積分が経路に依存しないことを保証し、コホモロジーが適切に定義されることを示す。
• 標準的な群コチェーン複体の恒等式を用いて、コホモロジーが正規化されており、2次コホモロジー条件 $ D^2 C_{x_0} = 0 $ を満たすことを証明する。
• 1次コチェーン $ a(g) = \int_{x_1}^{x_2} (g^* \omega_1 - \omega_1) $ を用いたcoboundaryの議論により、$ C_{x_0} $ のコホモロジー類が $ x_0 $ や $ \omega_1 $ の選び方に依存しないことを示す。
• ハミルトニアンおよび局所ハミルトニアンベクトル場上の関連するリー代数コホモロジー $ c_{x_0} $ を分析し、ポisson代数とシンプレクティック体積形式とを関連付ける。
• Poincaré双対性とLefschetz写像 $ L^{n-1}: H^1(M,\mathbb{R}) \to H^{2n-1}(M,\mathbb{R}) $ を用いて、コンパクト多様体上でのリー代数コホモロジーの非自明性を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティズム群上の2次コホモロジーが非自明となる条件は何か？
• RQ2 コホモロジーの構成は基点や原始1形式の選び方にどのように依存するか？
• RQ3 コホモロジーによって誘導される中心拡大が非自明となるのはいつか？
• RQ4 リー代数コホモロジーと $ C^\infty(M) $ 上のポisson代数構造との関係は何か？
• RQ5 どのコンパクトなシンプレクティック多様体に対してリー代数コホモロジーが非自明か？

主な発見

• H¹(M,ℝ) = 0 により、$ g_1^*\omega_1 - \omega_1 $ が完全形式であることが保証され、$ C_{x_0} $ は経路の選びに依存せず、適切に定義される。
• コホモロジー $ C_{x_0} $ は正規化されており、2次コホモロジー恒等式を満たすため、$ \mathbb{R} $ に値をとる有効な群2次コホモロジーである。
• 差がコ boundary であることを示すcoboundaryの議論により、$ C_{x_0} $ のコホモロジー類は基点 $ x_0 $ や原始形式 $ \omega_1 $ の選び方に依存しない。
• コホモロジー $ C_{x_0} $ を対称ヘルミート空間 $ M = G/K $ の群 $ G $ に制限したとき、非自明であることが示され、これはシンプレクティズム群全体に対しても非自明であることを意味する。
• コンパクトなシンプレクティック多様体に対して、リー代数コホモロジー $ c_{x_0} $ が非自明であるための必要十分条件は、Lefschetz写像 $ L^{n-1}: H^1(M,\mathbb{R}) \to H^{2n-1}(M,\mathbb{R}) $ が非ゼロであることである。
• カーラーの場合、$ L^{n-1} $ は同型写像であるため、$ H^1(M,\mathbb{R}) \neq 0 $ であれば $ c_{x_0} $ は非自明である。