[論文レビュー] A_2-singularities of hypersurfaces with non-negative sectional curvature in Euclidean space

Kentaro Saji, Masaaki Umehara+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一様な接ベクトル束とフロント束を用いて、空間形における波フロントの実現定理を確立し、曲面論の基本定理に類似した内在的定式化を可能にする。ユークリッド空間内の非負な断面曲率をもつ超曲面について、$A_2$-特異点が、曲率が有界のとき、特異集合に沿って第二基本形式が消えることを示し、曲率が非負のとき、特異主曲率が非正であることを示す。

ABSTRACT

In a previous work, the authors gave a definition of `front bundles'. Using this, we give a realization theorem for wave fronts in space forms, like as in the fundamental theorem of surface theory. As an application, we investigate the behavior of principal singular curvatures along A_2-singularities of hypersurfaces with non-negative sectional curvature in Euclidean space.

研究の動機と目的

• フロント束と一様な接ベクトル束を用いて、空間形における波フロントの内在的定式化を構築すること。
• 空間形における波フロントの実現定理を確立し、曲面論の基本定理を一般化すること。
• $\mathbb{R}^{m+1}$ 内の非負な断面曲率をもつ超曲面における $A_2$-特異点における主特異曲率の挙動を分析すること。
• 一様な接ベクトル束およびフロント束を空間形への滑らかな写像として実現するための必要十分条件を提供すること。

提案手法

• フロント束と一様な接ベクトル束を、波フロントの内在的構造として導入する。
• 接続 $D$ とバンドル同型写像 $\varphi$ を用い、$D_X\varphi(Y) - D_Y\varphi(X) - \varphi([X,Y]) = 0$ を満たす整合性条件を満たす。
• $\varphi$ を通じた内積の引き戻しとして定義される $\varphi$-計量を定義し、これは半正定値である。
• ガウス方程式を用いて、波フロントの外在的曲率を一様な接ベクトル束の内在的幾何と関係付ける。
• 方向微分を用いて、$A_2$-特異点付近における外部断面曲率 $K^{\text{ext}}$ の極限を分析する。
• $\left\langle{D_1\varphi_1},{D_m\varphi_m}\right\rangle$ の符号を用いて、特異主曲率の符号を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたフロント束が、一定曲率の空間形における波フロントとして実現可能となる条件は何か？
• RQ2 誘導された断面曲率が有界または非負であるとき、$A_2$-特異点における特異主曲率はどのように振る舞うか？
• RQ3 波フロントの外在的曲率と、その一様な接ベクトル束の内在的幾何との関係は何か、特異点付近でどうなるか？
• RQ4 内在的構造を用いて、曲面論の基本定理を空間形における波フロントに一般化できるか？
• RQ5 非負な断面曲率が、$A_2$-特異点に沿って第二基本形式にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 超曲面の正則部分において断面曲率 $K$ が有界であれば、特異集合に沿って第二基本形式が消える。
• 正則部分において $K$ が非負であれば、$A_2$-特異集合に沿って特異主曲率はすべて非正である。
• $A_2$-特異点における外部断面曲率 $K^{\text{ext}}$ の極限が $\delta > 0$ で下から有界であることは、特異点において $\partial_m\left\langle{\varphi_1},{\psi_1}\right\rangle \cdot \partial_m\left\langle{\varphi_m},{\psi_m}\right\rangle > 0$ であることと同値である。
• $\partial_1$-方向における特異主曲率の符号は、$\left\langle{D_1\varphi_1},{D_m\varphi_m}\right\rangle$ の符号によって決まり、非負曲率のもとでは負である。
• $K \geq \delta > 0$ のとき、特異部分多様体は正の断面曲率をもつ。
• ガウス方程式により、特異部分多様体の断面曲率が特異主曲率の積と関係づけられ、$K$ の正しさが特異部分多様体の曲率の正しさを確認する。