[論文レビュー] A 2d spray model with gyroscopic effects

Ayman Moussa, Franck Sueur|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元のPDE系を提案する。この系は、粒子のスプレーを記述するVlasov型方程式と、非圧縮性流体を記述するEuler型方程式を結合したもので、流体の渦度に起因するジャイロスコピック（揚力）力が粒子に作用し、スプレーが流体の渦度に寄与する。主な貢献は、粒子運動から系を平均場的に導出する厳密な手続きと、弱解の存在の初歩的証明に加え、ハミルトニアン構造と質量消滅極限の解析である。

ABSTRACT

In this paper we introduce a PDE system which aims at describing the dynamics of a dispersed phase of particles moving into an incompressible perfect fluid, in two space dimensions. The system couples a Vlasov-type equation and an Euler-type equation: the fluid acts on the dispersed phase through a gyroscopic force whereas the latter contributes to the vorticity of the former. First we give a Dobrushin type derivation of the system as a mean-field limit of a PDE system which describes the dynamics of a finite number of massive pointwise particles moving into an incompressible perfect fluid. This last system is itself inferred from a joint work of the second author with O. Glass and C. Lacave, where the system for one massive pointwise particle was derived as the limit of the motion of a solid body when the body shrinks to a point with fixed mass and circulation. Then we deal with the well-posedness issues including the existence of weak solutions. Next we exhibit the Hamiltonian structure of the system and finally, we study the behavior of the system in the limit where the mass of the particles vanishes.

研究の動機と目的

• 2次元における非圧縮性完全流体と分散スプレー粒子の相互作用を、運動論的／流体的結合を用いてモデル化すること。
• 単一粒子のための以前のモデルに基づき、有限個の質点粒子系の平均場極限として、系を厳密に導出すること。
• 特に弱解の存在を含む、系の適切性（well-posedness）を確立すること。
• 系のハミルトニアン構造を明らかにし、質量がゼロに近づく極限における挙動を分析すること。

提案手法

• 最適輸送理論と相対エントロピー法を用いて、N個の質点粒子が流体中に存在するPDE系の平均場極限として、系を導出する。
• Biot-Savart作用素Kを用い、渦度ωと流体速度uの関係をu = K[ω + ρ]で表す。ここでρは粒子密度である。
• 空間時間分布におけるコンパクト性の議論を用い、ρ^εとω^εがL∞(Lp)およびH^{-m}空間で有界であることを根拠に、弱解の存在を確立する。
• Ascoliの定理と対角抽出法を用いて、粒子密度および流体渦度の列の相対的コンパクト性を証明する。
• 保存エネルギー関数とポisson括弧形式を特定することで、ハミルトニアン構造を分析する。
• 粒子質量と循環量をスケーリングすることで、質量消滅極限を調べ、慣性のない極限系への収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元の流体・スプレー系において、ジャイロスコピック（揚力）力が働く場合、粒子ベースのモデルから平均場極限によって厳密に導出可能か？
• RQ2 得られた流体・運動論的系の適切性は何か、特に弱解の存在は？
• RQ3 系はハミルトニアン構造を有するか？ そしてエネルギー関数とポisson括弧形式とはどのように関係するか？
• RQ4 粒子質量がゼロに近づく極限では、系はどのように振る舞い、その極限的力学は何か？

主な発見

• 最適輸送と相対エントロピー技法を用いて、有限粒子系の平均場極限として、系が導出され、物理的妥当性が裏付けられた。
• 弱解が連立Vlasov-Euler系（1）–（3）に対して存在することが、分布空間におけるコンパクト性と弱収束の議論により証明された。
• 系はハミルトニアン構造を有しており、保存エネルギー関数とポisson括弧形式が特定され、積分可能に似た挙動を示す。
• 粒子質量がゼロに近づく極限では、系は慣性のない極限系に収束し、力学は流体渦度と粒子速度によってのみ支配される。
• コンパクト性と対角抽出法により、粒子密度ρ^εと渦度ω^εがC⁰_t(D’(R²))で収束することが確立され、極限系が適切に定義されることを保証した。
• 極限においてエネルギー散逸不等式が検証され、弱解の摂動に対する安定性が確認された。