[論文レビュー] A 3-dimensional singular kernel problem in viscoelasticity: an existence result

Sandra Carillo|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Elasticity and Material Modeling被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、t=0で有界でない緩和モジュラスと、その時間微分が可積分でない場合の、特異核を有する3次元初期境界値問題に対して弱解の存在を確立する。古典的粘弾性モデルと比較して、より緩い正則性条件のもとで、正則化近似の系列を構築し、弱収束および核収束に関する重要な補題を活用することで、解の存在を証明する。

ABSTRACT

Materials with memory, namely those materials whose mechanical and/or thermodynamical behaviour depends on time not only via the present time, but also through its past history, are considered. Specifically, a three dimensional viscoelastic body is studied. Its mechanical behaviour is described via an integro-differential equation, whose kernel represents the relaxation modulus, characteristic of the viscoelastic material under investigation. According to the classical model, to guarantee the thermodynamical compatibility of the model itself, such a kernel satisfies regularity conditions which include the integrability of its time derivative. To adapt the model to a wider class of materials, this condition is relaxed; that is, conversely to what is generally assumed, no integrability condition is imposed on the time derivative of the relaxation modulus. Hence, the case of a relaxation modulus which is unbounded at the initial time t = 0, is considered, so that a singular kernel integro-differential equation, is studied. In this framework, the existence of a weak solution is proved in the case of a three dimensional singular kernel initial boundary value problem.

研究の動機と目的

• 特異核を有する粘弾性モデルに対して、特に緩和モジュラスの時間微分が可積分でない場合の存在結果の欠如に対処すること。
• 緩和モジュラスの微分に対する標準的な可積分性条件を除去することで、古典的粘弾性モデルを一般化すること。
• より弱い正則性仮定の下で、3次元初期境界値問題に対する弱解の存在を確立すること。
• 1次元での先行結果を3次元設定に拡張し、高分子や生物学的組織などの実材料への応用性を高めること。
• 初期時刻における特異的緩和応答を示す記憶を持つ材料のモデリングのための数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 緩和モジュラス K(t) を用いた線形積分微分方程式として粘弾性問題を定式化し、K'(t) が L¹(0,T) に属さないため、特異核が生じる。
• 核のシフトを用いた緩和モジュラスの正則化近似を導入する：Kεh(s) = ∫₀^{s} G(εh + τ)dτ で、G ∈ L¹(0,T) だが Ẇ ∉ L¹ である。
• H¹₀(Ω×(0,T)) 内のテスト関数を用いて弱形式を定義し、応力とひずみ履歴を含む積分恒等式を得る。
• 正則化問題に対する近似解の系列 {uεh} を構築し、H¹(0,T;H¹₀(Ω)) 内で弱収束、L²(Ω×(0,T)) 内で強収束することを証明する。
• 正則化された核と元の核の積分の差が L² 論じて 0 に収束することを示す重要な補題（補題2）を証明する。
• 近似解の収束と核収束に関する補題を用いて、弱形式における極限への移行を可能とし、特異問題に対する弱解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 緩和モジュラスの微分が可積分でない場合に、3次元粘弾性初期境界値問題に対して弱解の存在を確立できるか？
• RQ2 t=0で有界でない緩和モジュラスを有する特異核モデルを、数学的に定式化し分析できるか？
• RQ3 核の特異性を扱うために、問題の物理的・数学的構造を保ちながら用いられる近似戦略は何か？
• RQ4 古典的粘弾性理論の存在理論は、より正則性の低い緩和関数を有するモデルへどの程度拡張可能か？
• RQ5 同次境界条件および初期データの正則性は、近似解の収束を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、緩和モジュラス G が G ∈ L¹(0,T) だが Ẇ ∉ L¹(0,T) を満たす3次元初期境界値問題に対して弱解の存在を証明する。
• 核に εh のシフトを導入することで、正則化された問題の系列を構築し、近似核が滑らかで可積分であることを保証する。
• εh → 0 のとき、近似解 {uεh} は H¹(0,T;H¹₀(Ω)) 内で弱収束し、L²(Ω×(0,T)) 内で強収束する。これにより、極限関数 u の存在が保証される。
• 補題2 は、正則化された核と元の核の積分の差が L² 論じて 0 に収束することを示し、極限への移行に不可欠である。
• 元の問題の弱形式が極限で回復され、極限関数 u が弱い意味で積分方程式を満たすことが確認される。
• 本結果は、先行する1次元存在結果を一般化し、3次元への解析的枠組みを拡張することで、初期時刻における特異的緩和挙動を示す記憶を持つ材料のモデリングを可能にする。