[論文レビュー] A backward Kolmogorov equation approach to compute means, moments and correlations of non-smooth stochastic dynamical systems

Laurent Mertz, Georg Stadler+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非滑らか確率的力学系（例えば、確率的弾塑性系や障害物問題）における統計的モーメント、平均値、相関を計算するための後向きコルモゴロフ方程式（BKE）手法を提案する。非標準的な境界条件に対処することで、コストの高い確率的シミュレーションに依存せずに、高精度なシステム統計の計算が可能となる。この手法は、工学力学応用分野における計算効率の高い代替手法を提供する。

ABSTRACT

We present a computational alternative to probabilistic simulations for non-smooth stochastic dynamical systems that are prevalent in engineering mechanics. As examples, we target (1) stochastic elasto-plasticity, which involve transitions between elastic and plastic states, and (2) obstacle problems with noise, which involve discrete impulses due to collisions with an obstacle. We focus on solving Backward Kolmogorov Equations (BKEs) of stochastic variational inequalities modelling elasto-plastic and obstacle oscillators. The main challenge in solving BKEs corresponding to these problems is to deal with the non-standard boundary conditions which describe the behavior of the underlying process on the boundary. Applications that could make use of this framework abound in many areas of science and technology.

研究の動機と目的

• 工学力学における非滑らか確率的力学系の確率的シミュレーションの代替計算手法を開発すること。
• 確率的変分不等式に起因する後向きコルモゴロフ方程式（BKE）における非標準的境界条件の課題に対処すること。
• 非連続ダイナミクスを示す系、例えば弾塑性系や障害物衝突振動子において、平均値、モーメント、相関を高精度に計算できることを実現すること。
• 非滑らかノイズ駆動ダイナミクスを含む広範な科学的・技術的問題に適用可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 弾塑性および障害物振動子をモデル化する確率的変分不等式に適した後向きコルモゴロフ方程式（BKE）を定式化する。
• 不連続性境界における確率過程の振る舞いを記述する非標準的境界条件を組み込む。
• これらの特殊な境界条件を有するBKEを数値的に解くことで、系の物理的ダイナミクスと整合性を保つ。
• 解を用いて、平均値、2階モーメント、相関関数などの統計的量を計算する。
• 利用可能な既知の解析的またはシミュレーションベースの結果と照合して、手法の妥当性を検証する。
• 衝突や相転移に起因する離散的インパルスを有する系に対してもフレームワークを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 後向きコルモゴロフ方程式は、非連続ダイナミクスを示す非滑らか確率的系をどのようにモデル化できるか？
• RQ2 弾塑性系や障害物系における相境界で確率過程の振る舞いを正確に表現するために必要な境界条件は何か？
• RQ3 このような系において、BKE手法は確率的シミュレーションに比べて統計的モーメントと相関をより効率的に計算できるか？
• RQ4 非標準的境界を持つBKEの解は、シミュレーションベースの推定と比較して、精度と計算コストの両面でどのように異なるか？
• RQ5 BKEフレームワークは、非滑らかノイズ駆動ダイナミクスを含む実世界の工学的問題にどの範囲で適用可能か？

主な発見

• BKE手法は、時間のかかる確率的シミュレーションに依存せずに、非滑らか確率的系における平均値、モーメント、相関を的確に計算できる。
• 不連続性面（例えば、弾塑性における降伏面や障害物問題における衝突境界）における正しく動的を捉えるために、非標準的境界条件が不可欠である。
• とくに複雑な相転移を示す系において、モンテカルロシミュレーションに比べて計算コストが著しく低い代替手法を提供する。
• 確率的変分不等式と非滑らか制約を含む広範な工学的問題に適用可能なフレームワークである。
• BKEの解は高精度な統計的記述子を提供し、不確実性下での系の挙動の予測的解析を可能にする。
• この手法により、離散的インパルスや塑性を有する系における相関構造や高次モーメントの体系的解析が可能になる。