[論文レビュー] A Banach rearrangement norm characterization for tail behavior of measurable functions (random variables)

Eugeny Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、重み関数 $ w $ を用いた新しいバナッハ再配列不変ノルムを導入し、可測関数（確率変数）の尾挙動を特徴付けることを示している。ノルム $ \|f\|_w = \sup_{t>0} \left[ w(t) \cdot f^{**}(t) \right] $ の有限性が尾挙動を特徴づけることが示され、特定の条件下で弱オルリッチノルムとこの新しいノルムが同値である。主な貢献は、一般化されたグランドルベーグ空間と弱オルリッチ空間を含む関数解析的道具を用いて、重尾および軽尾挙動の完全な特徴づけがなされたことである。

ABSTRACT

We construct a Banach rearrangement invariant norm on the measurable space for which the finiteness of this norm for measurable function (random variable) is equivalent to suitable tail (heavy tail and light tail) behavior. We investigate also a conjugate to offered spaces and obtain some embedding theorems. Possible applications: Functional Analysis (for instance, interpolation of operators), Integral Equations, Probability Theory and Statistics (tail estimations for random variables).

研究の動機と目的

• 可測関数（確率変数）の尾挙動を特徴付ける再配列不変バナッハノルムを構築すること。
• 準ノルム $ \|f\|_w^* = \sup_{t>0} [w(t) f^*(t)] $ とノルム $ \|f\|_w = \sup_{t>0} [w(t) f^{**}(t)] $ が線形に同値となるための必要十分条件を確立すること。
• 導入されたノルム空間の双対空間および関連空間を調査し、一般化されたグランドルベーグ空間と弱オルリッチ空間を含む埋め込み定理を導出すること。
• スローリング関数および指数的ヤング＝オルリッチ関数を用いて、確率論、統計学、関数解析における尾の推定のための関数解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• 尾関数 $ T_f(t) = \mu\{x: |f(x)| \geq t\} $ とその左逆関数 $ f^*(t) = T_f^{-1}(t) $、および平均分布関数 $ f^{**}(t) = t^{-1} \int_0^t f^*(s) \, ds $ を定義する。
• 区間 $ (0, \mu(X)) $ 上で定義された重み関数 $ w(s) $ を導入し、$ w(s) = 0 \Leftrightarrow s = 0 $ かつ $ \lim_{s \to \mu(X)} w(s) = \infty $ を満たし、ある $ T \in \{T\} $ に対して $ w(T(s)) = 1/s $ を満たすものとする。
• ノルム $ \|f\|_w = \sup_{t>0} \left[ w(t) \cdot f^{**}(t) \right] $ を定義し、これが再配列不変なバナッハノルムであり、ファトウの性質を有することを示す。
• チェビシェフの不等式を用いて尾の減衰と $ L_p $-ノルムの関係を確立し、特に $ p \to p_0^- $ の極限において、基本関数 $ \psi_{p_0,\Delta,S}(p) $ を用いた $ \|f\|_p $ の推定を得る。
• ノルム $ \|f\|_{G\psi} = \sup_{p \in (p_1,p_2)} \|f\|_p / \psi_{p_0,\Delta,S}(p) $ を持つグランドルベーグ空間 $ G\psi_{p_0,\Delta,S} $ を構成し、$ L(\Phi_{p_0,\Delta,S}) $、$ wL\Phi_{p_0,\Delta,S} $、$ G\psi_{p_0,\Delta,S} $ 間の埋め込み定理を証明する。
• 導入された空間の双対性および共役性に関する結果を確立し、$ L_w $ の双対空間が、$ g \in L_1 $ によって生成される自然な重み $ w^{(g)} $ の下で可積分関数の空間に等長同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可測関数に対して、準ノルム $ \|f\|_w^* = \sup_{t>0} [w(t) f^*(t)] $ とバナッハノルム $ \|f\|_w = \sup_{t>0} [w(t) f^{**}(t)] $ が同値となる条件は何か？
• RQ2 重み関数 $ w $ を用いて定義された再配列不変ノルムによって、確率変数の尾挙動（重尾または軽尾）を完全に特徴づける方法は何か？
• RQ3 $ L(\Phi_{p_0,\Delta,S}) $、$ wL\Phi_{p_0,\Delta,S} $、$ G\psi_{p_0,\Delta,S} $ の空間間の正確な埋め込み関係は何か？ そして、それらは尾の減衰率をどのように反映するか？
• RQ4 空間 $ L_w $ の双対空間は何か？ また、可積分関数 $ g $ によって生成される自然な重み $ w^{(g)} $ とどのように関係するか？
• RQ5 $ p \to p_0^- $ の極限における $ \|f\|_p $ の漸近的推定は、尾の減衰率 $ T_f(t) \sim t^{-p_0} \log^\Delta(t) S(\log t) $ をどのように反映するか？

主な発見

• ノルム $ \|f\|_w = \sup_{t>0} \left[ w(t) \cdot f^{**}(t) \right] $ は、再配列不変なバナッハ空間を定め、ファトウの性質を有する。さらに、$ \gamma(w) < \infty $ の条件下で、準ノルム $ \|f\|_w^{*} $ と同値である。
• 尾挙動が $ T_f(t) \leq t^{-p_0} \log^\Delta(t) S(\log t) $ を満たす関数 $ f $ に対して、$ p \to p_0^- $ のとき $ \|f\|_p \lesssim (p_0 - p)^{-(1+\Delta)/p_0} S^{1/p_0}(1/(p_0 - p)) $ が成り立ち、これは基本関数 $ \psi_{p_0,\Delta,S}(p) $ と一致する。
• $ L(\Phi_{p_0,\Delta,S}) \subset wL\Phi_{p_0,\Delta,S} \subset G\psi_{p_0,\Delta,S} $ の埋め込みが成り立ち、第二の包含関係は一般に最良であり、改善不能である。
• $ G\psi_{p_0,\Delta,S} $ は $ wL\Phi_{p_0,\Delta+1,S} $ に含まれる。これは、$ p \to p_0^- $ のときの $ L_p $-ノルムの成長が、弱オルリッチ空間への埋め込みの鋭さを決定することを示している。
• 尾挙動が $ T_\eta(t) \sim t^{-p_0} \log^\Delta(t) S(\log t) $ を満たす確率変数 $ \eta $ に対して、$ \|\eta\|_p \asymp \Gamma(1+\Delta) (p_0 - p)^{-(1+\Delta)/p_0} S^{1/p_0}(1/(p_0 - p)) $ が成り立ち、推定の鋭さが確認される。
• $ L_w $ の双対空間は、$ w^{(g)}(s) = T_g^{-1}(1/s) $ で定義される自然な重みの下で可積分関数の空間に等長同型であり、$ \|g\|_w^{*} = 1 $ が成り立つ。