[論文レビュー] A "bang-bang" principle for predicting the supremum of a random walk or Le'vy process

Pieter C. Allaart|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Lévy過程およびランダムウォークにおける最適停止のための「バン・バン」原理を確立し、報酬を最大化する際の最適停止時刻が、過程の上限に近い状態である場合、時刻0または時刻Tに限られることを示している。ステップまたはジャンプの確率的優位性および一貫した勾配方向の条件下では、最適戦略は極端である：即座に停止するか、最終時刻まで待つだけであり、中間の停止時刻は最適でない。

ABSTRACT

Let (Xt)0�tT be a one-dimensional stochastic process with independent and stationary increments. This paper considers the problem of stopping the process (Xt) close as possible to its eventual supremum MT := sup0�tT Xt, when the reward for stopping with a stopping time � � T is a nonincreasing convex function of MT X�. Under fairly general conditions on the process (Xt), it is shown that the optimal stopping timeis of bang-bang form: it is either optimal to stop at time 0 or at time T. For the case of random walk, the rule � � T is optimal if the steps �1,�2,... of the walk stochastically dominate their opposites (that is, �isti), and the rule � � 0 is optimal if the reverse relationship holds. For Levy processes (Xt) with finite Levy measure, an analogous result is proved assuming that the jumps of Xt satisfy the above condition, and the drift of Xt has the same sign as the mean jump. Finally, conditions are given under which the result can be extended to the case of nonfinite Levy measure. AMS 2000 subject classification: Primary 60G40, 60G50, 60G51; secondary 60G25.

研究の動機と目的

• 独立同一増分を有する確率過程の最適停止時刻を特定し、その最終上限に近い報酬を最大化することを目的とする。
• 特に凸的かつ非増加的な報酬関数の下で、中間の停止時刻が非最適となる条件を調査すること。
• ランダムウォークからLévy過程（有限または無限のLévy測度を有する）へのバン・バン原理の拡張を試みること。
• 時刻0または時刻Tに停止することが中間時刻よりも最適となる条件を同定すること。

提案手法

• 独立同一増分を有する過程 (Xt) を分析し、上限 MT = sup₀≤t≤T Xt に注目する。
• 報酬関数は、MT と停止値 Xτ の差に関して、非増加的かつ凸的である。
• 確率的優位性条件を適用：過程のステップまたはジャンプが、それらの負の値を確率的に優位する。
• 符号の一貫性条件を課す：Lévy過程のドリフトは、平均ジャンプの符号と同じでなければならない。
• サンプルパスの議論とパスワイズ最適化を用いて、中間の停止時刻が極端な選択（時刻0またはT）を上回ることはできないことを示す。
• 追加の正則性およびモーメント条件の下で、非有限Lévy測度を有する過程に対しても結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立同一増分を有するLévy過程の上限を予測する場合、どのような条件下で時刻0または時刻Tに停止することが最適となるか？
• RQ2 ジャンプまたはステップがそれらの負の値を確率的に優位する場合、極端な停止時刻の最適性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 ドリフトの符号は、早期または遅延停止の最適性を決定づける上で果たす役割は何か？
• RQ4 無限Lévy測度を有するLévy過程に対してもバン・バン原理を拡張可能か？ もし可能であれば、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 報酬関数の凸性および単調性は、最適停止時刻の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• ステップがそれらの逆数を確率的に優位するランダムウォークでは、最適停止時刻は τ = 0 または τ = T に限られる。
• ランダムウォークのステップがそれらの逆数を確率的に優位する場合、報酬関数が上限からの距離に関して凸的かつ非増加的であれば、時刻0に停止することが最適である。
• 有限Lévy測度を有するLévy過程では、ジャンプが確率的優位性を満たし、ドリフトが平均ジャンプの符号と同じであれば、バン・バン原理が成立する。
• Lévy測度が非有限の場合でも、過程に対して追加のモーメントおよび正則性条件が満たされていれば、バン・バン結果は依然として成立する。
• 確率的優位性およびドリフト符号の条件が満たされている限り、中間の停止時刻は、τ = 0 または τ = T の極端な選択を上回ることはできない。
• 最適戦略は、連続時間のダイナミクスではなく、パスワイズな挙動および増分の確率的順序付けによって完全に決定される。