[論文レビュー] A Barrier Function Approach to Finite-Time Stochastic System Verification and Control

Cesar Santoyo, Maxence Dutreix+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Formal Methods in Verification被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、確率的システムの有限時間安全性検証および制御のための新しいバリア関数アプローチを提案する。多項式バリア関数の期待値に対する状態依存の上限を用いて、故障確率のよりきつい上界を計算する。この手法は、効率的な計算を可能にする和の平方（SOS）最適化を活用し、所望の安全性確率を保証する多項式状態フィードバック制御則の合成を可能にする。従来のcマーチンゲールおよびサブマーチンゲール手法と比較して、重要なケースで優れた性能を示す。

ABSTRACT

This paper studies the problem of enforcing safety of a stochastic dynamical system over a finite-time horizon. We use stochastic control barrier functions as a means to quantify the probability that a system exits a given safe region of the state space in finite time. A barrier certificate condition that bounds the expected value of the barrier function over the time horizon is recast as a sum-of-squares optimization problem for efficient numerical computation. Unlike prior works, the proposed certificate condition includes a state-dependent upper bound on the evolution of the expectation. We present formulations for both continuous-time and discrete-time systems. Moreover, for systems for which the drift dynamics are affine-in-control, we propose a method for synthesizing polynomial state feedback controllers that achieve a specified probability of safety. Several case studies are presented which benchmark and illustrate the performance of our verification and control method in the continuous-time and discrete-time domains.

研究の動機と目的

• 既存の手法よりもよりきつい故障確率の確率的バインドを提供する、確率的力学的システムの有限時間安全性検証フレームワークの開発。
• 有限時間ホライズンを有する確率的システムへの制御バリア関数の拡張により、検証と制御則合成の両方を可能にする。
• 特定の状態空間領域における線形バリア関数に制限することにより、離散時間確率的制御合成における非凸性の課題に対処する。
• 和の平方最適化を用いて連続時間および離散時間の両方のシステムを統一的に取り扱う定式化の提供。
• 連続時間および離散時間の確率的システムを対象とした事例研究を通じて、本手法の有効性の実証。

提案手法

• 本稿では、有限時間ホライズンにおける非負の多項式バリア関数の期待値を、その進化に関する状態依存の上界を用いて制限するバリア証明条件を導入する。
• 期待値の進化制約は、和の平方（SOS）最適化問題として定式化され、半正定値プログラミングを用いた効率的な数値計算を可能にする。
• 連続時間システムの場合、確率過程の無限小生成子を用いて期待値の進化条件を導出する。
• 離散時間システムの場合、1ステップ後のバリア関数の期待値を、状態依存関数以下の制約で計算する。
• システムのダイナミクスを期待値の上限に組み込むことで、従来のスーパーマーチンゲールおよびcマーチンゲール条件を一般化し、故障確率推定のタイトネスを向上させる。
• アフィン制御系に対しては、バリア証明条件を満たし、目標故障確率を満たす多項式状態フィードバック制御則を探索する制御則合成手法を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バリア関数の期待値進化に関する状態依存の上限が、従来のスーパーマーチンゲールまたはcマーチンゲール条件よりも、よりきつい故障確率バインドを提供できるか。
• RQ2 和の平方最適化を用いて、連続時間および離散時間の両方の有限時間確率的システムの安全性検証と制御則合成をどのように行えるか。
• RQ3 バインドのタイトネスおよび計算効率の観点から、指数関数的バリア関数と比較して、多項式バリア関数を使用することで得られる性能向上は何か。
• RQ4 離散時間制御合成における非凸性は、どのように緩和可能か。ただし、安全性保証を維持するものとする。
• RQ5 高ノイズ環境下において、本手法は従来の手法と比較して、故障確率バインドをどの程度改善するか。

主な発見

• 連続時間のダブルインテグレータのケースでは、本手法が故障確率の上界として 0.10 を達成し、目標とする値と一致する。一方、cマーチンゲール手法では 0.15 とより緩いバインドが得られる。
• σ=0.1 の離散時間の人口モデルにおいて、本手法は故障確率の上界として 0.069 を計算し、モンテカルロ推定値 0.006 に近く、タイトネスが確認される。
• 同じモデルで σ=0.3 の場合、上界は 0.574 であるが、モンテカルロによる真の故障確率は 0.118 であり、バインドは保守的ではあるが情報量が多く、有効である。
• σ=1.5 の離散時間制御合成において、本手法は故障確率の上界 0.512 を達成する制御則を効果的に合成でき、制御効率のc値が 2.074 である場合、目標 P_goal=0.10 を満たす。
• 離 discrete 時間システムにおける1次線形バリア関数の使用により、特定領域で凸的最適化に類似した性質が得られ、本質的な非凸性にもかかわらず、効果的な制御則合成が可能になる。
• 本手法は、特に高ノイズシステムにおいて、期待値制約にシステムダイナミクスを組み込むことで、cマーチンゲール条件よりも一貫してよりタイトな故障確率バインドを提供する。