[論文レビュー] A basic definition of spin in the new matrix dynamics

Tejinder P. Singh|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Quantum Mechanics and Applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、グラスマン代数とトレースダイナミクスに基づく新しい行列力学枠組みにおいて、スピン角運動量の根本的な定義を提示する。低エネルギー領域において、フェルミオンは半整数スピンを、ボソンは整数スピンを示すことが示され、標準的量子統計が再現され、スピン統計の接続が素朴に導かれる。

ABSTRACT

We have recently proposed a new matrix dynamics at the Planck scale, building on the theory of trace dynamics. This is a Lagrangian dynamics in which the matrix degrees of freedom are made from Grassmann numbers, and the Lagrangian is trace of a matrix polynomial. Matrices made from even grade elements of the Grassmann algebra are called bosonic, and those made from odd grade elements are called fermionic. In the present article we provide a basic definition of spin angular momentum in this matrix dynamics, and introduce a bosonic(fermionic) configuration variable conjugate to the spin of a boson(fermion). We then show that at energies below Planck scale, where the matrix dynamics reduces to quantum theory, fermions have half-integer spin (in multiples of Planck's constant), and bosons have integral spin. We also show that this definition of spin agrees with the conventional understanding of spin in relativistic quantum mechanics. Consequently, we obtain an elementary proof for the spin-statistics connection.

研究の動機と目的

• トレースダイナミクスとグラスマン代数に基づく新しい行列力学理論におけるスピン角運動量の定義。
• ボソン系およびフェルミオン系のスピンに対する共役な配置変数の確立。
• プランクスケール未満のエネルギー領域において、行列力学が標準的量子理論を再現することの証明。
• 前提を仮定せず、基礎的な行列力学からスピン統計の接続を導出すること。

提案手法

• グラスマン数から構成された行列を用いたラグランジュ力学を定式化し、ラグランジアンを行列多項式のトレースとして定義する。
• グラスマン代数の次数付けに基づき、行列をボソン的（偶数次元のグラスマン要素）またはフェルミオン的（奇数次元のグラスマン要素）に分類する。
• 行列力学形式論において、ボソンおよびフェルミオンの両方のスピンに対して、スピンと共役な配置変数を導入する。
• 行列力学の低エネルギー極限を導出し、それが標準的量子理論に簡略化されることを示す。
• この極限で出現するスピン量子数を分析し、フェルミオンに対して半整数スピン、ボソンに対して整数スピンが得られることを確認する。
• 相対論的量子力学および従来のスピン統計定理と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラスマン代数に基づく行列力学枠組み内において、スピン角運動量はどのように定義可能か？
• RQ2 この行列力学において、スピンを記述する共役な配置変数の役割は何か？
• RQ3 この行列力学は、低エネルギー極限において観測されたスピン量子数（フェルミオンに対して半整数、ボソンに対して整数）をどのように再現するか？
• RQ4 この枠組みは自然にスピン統計の接続を導くのか、それとも追加の仮定を必要とするのか？
• RQ5 この行列力学におけるスピン定義は、標準的相対論的量子力学と整合性を保っているか？

主な発見

• スピン角運動量は、行列力学形式論において共役な配置変数を介して定義され、ボソン的およびフェルミオン的行列に対して別個に取り扱われる。
• 低エネルギー極限において、理論はフェルミオンが半整数スピン、ボソンが整数スピンを示す標準的量子理論を再現する。
• スピン量子数は、グラスマン代数の構造とトレースダイナミクスのラグランジアンから自然に出現する。
• 導出されたスピン統計は、相対論的量子力学のものと一致し、既存の物理学と整合することが確認された。
• この枠組み内では、スピン統計の接続が前提を仮定せず、第一原理から導出可能であることが示された。