[論文レビュー] A basis construction for the Shi arrangement of the type $B_{\ell}$ or $C_{\ell}$

Daisuke Suyama|arXiv (Cornell University)|May 29, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、新しいベルヌーイ型多項式 $B_{r,s}^B(x)$ および $B_{r,s}^C(x)$ を用いて、型 $B_\tau$ や $C_\tau$ のシ・アレンジメントの錐の導出モジュールに対する明示的基底を構成する。主な結果は、$\theta_E, \theta_1^B, \theta_2^B, \theta_\tau^B$（同様に $C_\tau$ に対しても）が自由基底をなしており、ヨシナガの以前の存在結果である自由アレンジメントに関する結果を明示的な実現として与える。

ABSTRACT

The Shi arrangement is an affine arrangement of hyperplanes consisting of the hyperplanes of the Weyl arrangement and their parallel translations. It was introduced by J.-Y. Shi in the study of the Kazhdan-Lusztig representation of the affine Weyl groups. M. Yoshinaga showed that the cone over every Shi arrangement is free. In this paper, we construct an explicit basis for the derivation module of the cone over the Shi arrangements of the type $B_{\ell}$ or $C_{\ell}$.

研究の動機と目的

• 型 $B_\tau$ または $C_\tau$ のシ・アレンジメントの錐の導出モジュールに対する明示的基底を構成すること。
• ヨシナガの結果である「シ・アレンジメントの錐が自由である」という事実の構成的実現を提供すること。
• 型 $A_\tau$ や $D_\tau$ で用いられたベルヌーイ型多項式の手法を、古典的根系 $B_\tau$ および $C_\tau$ に拡張すること。
• 反射群作用の文脈において、基底構成の $W$-不変性および線形性を確立すること。
• 導出された導出が多項式環 $S$ 上で自由基底をなすことを証明すること。

提案手法

• 特定の差分方程式および正規化条件を満たす新しいベルヌーイ型多項式 $B_{r,s}^B(x)$ および $B_{r,s}^C(x)$ を導入する。
• これらの多項式および根部分系上の対称関数の同次化版を用いて、斉次導出 $\theta_j^B$ および $\theta_j^C$ を定義する。
• 根系の構造を導出式に組み込むために、$x_i^2$ 上の初等対称多項式 $\tau_k^{(3,j)}$ および $\tau_k^{(3,j)}$ を用いる。
• Eulerの導出 $\theta_E = z\frac{\theta}{\theta z} + \theta x_i \frac{\theta}{\theta x_i}$ を基底の主要な構成要素として適用する。
• 可除性条件を用いて、構成された導出が錐の定義方程式を保存することを検証する。
• $W$-不変性および次元数え上げを用いて、線形独立性と生成性を示すことで、基底が自由であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型 $B_\tau$ のシ・アレンジメントの錐の導出モジュールに対して、明示的基底を構成できるか？
• RQ2 ベルヌーイ型多項式は、非単純根系に対してどのように一般化され、このような基底を構成できるか？
• RQ3 $D({\rm cone}({\rm Shi}(B_\tau)))$ の導出基底は $W$-不変か？
• RQ4 $C_\tau$ に対する構成は、$B_\tau$ と同様に自由基底をもたらすか？
• RQ5 この基底は、ヨシナガの自由アレンジメントに関する存在定理の構成的実現として解釈可能か？

主な発見

• 導出 $\theta_E, \theta_1^B, \theta_2^B, \theta_\tau^B$ を用いて、$D({\rm cone}({\rm Shi}(B_\tau)))$ の明示的基底が構成された。
• 導出 $\theta_j^B$ は、同次化されたベルヌーイ型多項式 $B_{r,s}^B(x)$ および根部分系上の対称関数を用いて定義された。
• $C_\tau$ に対しても、$B_{r,s}^C(x)$ を用いた類似の手法が適用され、基底 $\theta_E, \theta_1^C, \theta_2^C, \theta_\tau^C$ が得られた。
• 写像 $\theta_j \to \theta_j|_{z=0}$ は、$E^*$ から $D({\rm Shi}(B_\tau), 2)_h$ への $W$-不変同型を与える。これはソロモン＝テラオ基底と関連する。
• 導出が錐の定義方程式を保存し、線形独立であることを検証することで、基底が自由であることが証明された。
• この結果により、ヨシナガの「シ・アレンジメントの錐が自由である」という定理の明示的実現が得られ、以前の $A_\tau$ および $D_\tau$ の構成が型 $B_\tau$ および $C_\tau$ に拡張された。