[論文レビュー] A Baxter class of a different kind, and other bijective results using tableau sequences ending with a row shape

Sophie Burrill, Stephen Melczer+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Baxter数によって数え上げられる、高さが2以下の行形状で終わる「ためらう標準形」（hesitating tableaux）の新しい組合せ的クラスを導入する。このクラスは、既知のクラスとは異なり反対称性を示さない3つの新しいBaxterクラスを提供する。さらに、行形状で終わる振動的標準形と高さが$2k$以下の標準ヤング表についての深い双対性の存在を仮説し、生成関数の解析により$k \leq 8$でその双対性を証明する。この結果、格子路やWeylチャネルとの新たな関係が明らかになる。

ABSTRACT

Tableau sequences of bounded height have been central to the analysis of k-noncrossing set partitions and matchings. We show here that familes of sequences that end with a row shape are particularly compelling and lead to some interesting connections. First, we prove that hesitating tableaux of height at most two ending with a row shape are counted by Baxter numbers. This permits us to define three new Baxter classes which, remarkably, do not obviously possess the antipodal symmetry of other known Baxter classes. We then conjecture that oscillating tableau of height bounded by k ending in a row are in bijection with Young tableaux of bounded height 2k. We prove this conjecture for k at most eight by a generating function analysis. Many of our proofs are analytic in nature, so there are intriguing combinatorial bijections to be found.

研究の動機と目的

• Baxter数によって数え上げられる、かつて知られていたクラスとは異なり反対称性を示さない新しい組合せ的クラスを同定・特徴づけること。
• 高さが$k$以下の振動的標準形（行形状で終わる）と高さが$2k$以下の標準ヤング表との間の双対性を確立すること。
• 生成関数とWeylチャネル内の格子路の数え上げを用いて、仮説された双対性の解析的証拠を提供すること。
• 行形状で終わる表の列挙とWeylチャネル内でのウォークとの関係、特に境界上に終了するウォークについて探求すること。
• 軌道和法とD-有限級数を活用して、これらの組合せ的クラスの対角生成関数表現を開発すること。

提案手法

• 高さ$k$に制限された、(1) 停止して追加、(2) 削除して停止、(3) 追加して削除という2段階の移動を伴うフェルファーズ図の列挙である「ためらう標準形」を用いる。
• Chenら（2010）の写像$\overline{\phi}$の修正版を用いて、行形状で終わるためらう標準形と$W_k$-ためらう格子路（特定の境界点に到達）との間の双対性を確立する。
• Weylチャネル内の境界$\{me_1 + \delta : m \geq 0\}$に到達するウォークの対角生成関数表現を導出するために、軌道和法を適用する。
• Weylチャネル内での反射可能なウォークのGessel-Zeilbergerの公式を用いて、境界上に終了する振動的ウォークの生成関数を仮説的に導出する。
• 生成関数の解析を用いて、$k \leq 8$の範囲で、行形状で終わる振動的標準形と高さが$2k$以下の標準ヤング表との間の仮説された双対性を証明する。
• 変数$z_1, \dots, z_{k-1}$に関する有理関数への対称群作用を含む、高さが$\leq k$の標準ヤング表の生成関数の対角表現を提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Baxter数によって数え上げられる、反対称性を示さない新しい組合せ的クラスは存在するか？ もし存在するならば、それらはどのような構造に対応するか？
• RQ2 高さが$k$以下の振動的標準形（行形状で終わる）と高さが$2k$以下の標準ヤング表との間には双対性が存在するか？
• RQ3 Weylチャネルの境界上に終了する振動的ウォークの生成関数は、有理関数の対角として表現可能か？
• RQ4 行形状で終わる表の列挙と境界条件を満たすWeylチャネル内のウォークとの間の正確な関係は何か？
• RQ5 軌道和法を用いて、高さが有界な標準ヤング表の数の閉形式生成関数を導出可能か？

主な発見

• 高さが2以下の行形状で終わるためらう標準形はBaxter数によって数え上げられ、反対称性を示さない3つの新しいBaxterクラスをもたらす。
• $W_2$-ためらう格子路で長さ$2n$、終点が$(m+2,1)$であるものの、すべての$m$について合計すると、$(n+1)$番目のBaxter数に等しい：$\sum_{m=0}^n \ell^{(2)}_m(n) = B_{n+1}$。
• 振動的標準形（長さ$n$、高さ$\leq k$、行形状で終わる）と標準ヤング表（サイズ$n$、高さ$\leq 2k$）との間の仮説された双対性は、$k \leq 8$において生成関数の解析により正当化された。
• 境界$\{me_1 + \delta : m \geq 0\}$に到達するWeylチャネル内での振動的ウォークの数の対角生成関数表現が、軌道和技法に基づいて提案された。
• 高さが$\leq k$の標準ヤング表の生成関数に対する対角表現の仮説が提示され、$k-1$変数の有理関数への対称群作用が含まれる。
• 境界上に終了する振動的ウォークの生成関数は、差積と対称関数の積を含む有理関数の対角として表現可能であり、$k=8$までに検証された。