[論文レビュー] A Bayesian approach to parameter identification with an application to Turing systems

Eduard Campillo-Funollet, Chandrasekhar Venkataraman+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2016

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、偏微分方程式（PDE）モデルにおけるパラメータ同定のためのベイズ枠組みを提示する。特にチューリング反応拡散系に応用している。並列化アルゴリズムを用いたマルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）サンプリングにより、パラメータの完全な事後分布が計算され、ノイズ混在やスパースなデータに対しても不確かさの定量化、信頼領域、適切に定式化された推論が可能になる。これは、従来の最適制御手法に対する厳密な代替手段を提供する。

ABSTRACT

We present a Bayesian methodology for infinite as well as finite dimensional parameter identification for partial differential equation models. The Bayesian framework provides a rigorous mathematical framework for incorporating prior knowledge on uncertainty in the observations and the parameters themselves, resulting in an approximation of the full probability distribution for the parameters, given the data. Although the numerical approximation of the full probability distribution is computationally expensive, parallelised algorithms can make many practically relevant problems computationally feasible. The probability distribution not only provides estimates for the values of the parameters, but also provides information about the inferability of parameters and the sensitivity of the model. This information is crucial when a mathematical model is used to study the outcome of real-world experiments. Keeping in mind the applicability of our approach to tackle real-world practical problems with data from experiments, in this initial proof of concept work, we apply this theoretical and computational framework to parameter identification for a well studied semilinear reaction-diffusion system with activator-depleted reaction kinetics, posed on evolving and stationary domains.

研究の動機と目的

• PDEモデルにおけるパラメータ同定のための数学的に厳密なベイズ枠組みの構築、無限次元および有限次元パラメータを含む。
• 事前知識と測定不確かさを推論プロセスに自然に組み込むこと。
• チューリングパターンのデータを用いた反応拡散系において、このアプローチの実現可能性と有用性を示すこと。
• やや弱い仮定の下で、ベイズ逆問題の適切な定式化に関する結果を提供すること。
• 完全な事後分布サンプリングを通じて、不確かさの定量化、パラメータ相関解析、信頼領域推定を可能にすること。

提案手法

• ベイズの定理を用いて、観測データが与えられたときのパラメータの事後分布を計算するベイズ逆問題としてパラメータ同定問題を定式化する。
• パラメータをバナッハ空間内の確率変数としてモデル化することで、関数的パラメータと事前分布を扱えるようにする。
• HPCシステム上で高次元事後分布を効率的にサンプリングするため、並列化されたメトロポリス・ハスティングスアルゴリズムを用いる。
• 尤度関数を、解の範囲に対して10%のノイズを持つガウスノイズモデルで定義する。
• 活性化剤が枯渇する反応拡散系における、有限次元および無限次元パラメータ同定にこのフレームワークを適用する。
• 静的および動的領域におけるチューリングパターンからの合成データを用いて、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実験データを用いたPDEモデルにおけるパラメータ同定に対して、ベイズ枠組みが適切に定式化され、数学的に厳密なアプローチを提供できるか？
• RQ2 複雑な非線形系におけるパラメータ推論において、事前知識と測定不確かさを体系的に組み込む方法は何か？
• RQ3 並列MCMC手法を用いて、PDEに基づくモデルの完全な事後分布をサンプリングする計算的実行可能性はいかがなものか？
• RQ4 事後分布から導かれる信頼領域は、点推定と比較して、精度と不確かさの定量化において優れているか？
• RQ5 事後分布は、反応拡散系におけるパラメータの相関関係や同定可能性をどの程度明らかにできるか？

主な発見

• やや弱い仮定の下で、ベイズ的パラメータ同定問題は適切に定式化されており、数学的安定性と一貫性が保証される。
• 事後分布はパラメータ推定値を提供するだけでなく、点推定よりも狭く、より情報を含む信頼領域も提供する。
• 並列化されたメトロポリス・ハスティングスサンプリングにより、高性能コンピューティングプラットフォーム上で完全な事後分布の計算が可能になる。
• 10%のノイズを含む合成チューリングパターンデータに対してテストした結果、真のパラメータ値が信頼領域内に正常に回復された。
• このフレームワークは、測定ノイズと事前知識を自然に組み込み、最適制御手法よりも実験的に整合性の高いパラメータ推定値をもたらす。
• 事後分布がパラメータ相関関係や同定可能性を明らかにすることで、モデル選択と不確かさの定量化が可能になる。