[論文レビュー] A Bayesian Probability Calculus for Density Matrices

Manfred K. Warmuth, Dima Kuzmin|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2014

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、古典的確率分布を拡張する一般化量子状態である密度行列に対するベイズ確率計算を導入する。ユニタリーベクトルを基本事象とみなし、行列演算を用いて結合、条件付き、周辺分布を定義することで、フレームワークはベイズの定理と全確率の法則を量子領域に一般化し、古典的確率を特別な対角ケースとして保存するとともに、古典的MAP推定に類似した負の対数尤度の境界を提供する。

ABSTRACT

One of the main concepts in quantum physics is a density matrix, which is a symmetric positive definite matrix of trace one. Finite probability distributions are a special case where the density matrix is restricted to be diagonal. Density matrices are mixtures of dyads, where a dyad has the form uu' for any any unit column vector u. These unit vectors are the elementary events of the generalized probability space. Perhaps the simplest case to see that something unusual is going on is the case of uniform density matrix, i.e. 1/n times identity. This matrix assigns probability 1/n to every unit vector, but of course there are infinitely many of them. The new normalization rule thus says that sum of probabilities over any orthonormal basis of directions is one. We develop a probability calculus based on these more general distributions that includes definitions of joints, conditionals and formulas that relate these, i.e. analogs of the theorem of total probability, various Bayes rules for the calculation of posterior density matrices, etc. The resulting calculus parallels the familiar 'classical' probability calculus and always retains the latter as a special case when all matrices are diagonal. Whereas the classical Bayesian methods maintain uncertainty about which model is 'best', the generalization maintains uncertainty about which unit direction has the largest variance. Surprisingly the bounds also generalize: as in the classical setting we bound the negative log likelihood of the data by the negative log likelihood of the MAP estimator.

研究の動機と目的

• 古典的離散および連続分布におけるベイズ確率論を、密度行列を一般化された確率分布として用いることで、量子領域へと拡張すること。
• 密度行列で表される量子状態における、結合、条件付き、周辺分布の意味のある概念を定義すること。
• ベイズの定理や全確率の法則といった古典的ベイズルールの類似物を、量子力学の枠組み内で導出すること。
• 対角密度行列が標準的なベイズ推論に還元されることを保証することで、古典的確率と一貫性を持つこと。
• 予測性能の理論的境界を確立し、古典的負の対数尤度の境界を量子設定に一般化すること。

提案手法

• 確率分布を、トレースが1である対称的かつ正定値行列として表現する。
• 基本事象を単位ベクトルとみなし、ある方向の確率をそのベクトルへの射影のトレースによって与える。
• テンソル積を用いて結合密度行列を定義し、古典的条件付き確率に類似した行列演算を用いて条件付き密度行列を定義する。
• 行列の逆行列を用いた一般化されたベイズの定理を導出し、正定値性とトレースが1である制約を保つ更新則を提示する。
• またはthonormal基底におけるトレースに基づく周辺化を用いて全確率の法則を適用する。
• 最大事後確率（MAP）密度行列を用いた観測データの負の対数尤度の境界を確立し、古典的結果を量子ケースに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度行列で表される量子状態に対して、ベイズ推論を一貫的に拡張する方法は何か？
• RQ2 密度行列の文脈において、古典的結合、条件付き、周辺分布の量子アナログは何か？
• RQ3 量子力学的原理と古典的推論とを一貫して保つ一般化されたベイズの定理を定式化できるか？
• RQ4 古典的ベイズ統計における予測尤度の対数の標準的境界は、どのように量子設定に一般化されるか？
• RQ5 一様密度行列 1/n I は、無限個の単位ベクトルの集合に対する非古典的均一性をどのように表現するか？

主な発見

• このフレームワークは、離散的・連続的モデルの不確実性に加えて、単位ベクトルそのものに対する不確実性を許容することで、古典的ベイズ確率論を一般化する。
• 全確率の法則は、正規直交基底におけるトレースに基づく周辺化を用いて拡張され、任意のこのような基底において確率の合計が1に等しいことを保証する。
• 正定値性とトレースが1である制約を保ちながら、行列演算を用いて密度行列を更新する一般化されたベイズの定理が導出された。
• 観測データの負の対数尤度は、MAP推定器の負の対数尤度によって上界で抑えられ、古典的結果と一致する。
• すべての密度行列が対角である場合、この計算は正確に古典的ベイズ確率論に還元され、古典的ケースとの一貫性が確認される。
• 一様密度行列 1/n I は、すべての単位ベクトルに等確率 1/n を割り当て、無限個の方向に対する一様事前分布を反映しており、このフレームワークの非古典的特徴である。