[論文レビュー] A Bernstein problem for special Lagrangian equations in exterior domains

Dong‐Sheng Li, Zhisu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、外部領域における超臨界位相を有する特殊ラグランジュ方程式の解について、二次の漸近的性質を確立し、解が無限遠で一意的な二次多項式に近づくことを証明する。この手法は、完全非線形楕円型方程式に対する外部リウヴィル定理と回転に基づくヘッセ行列の有界性技術を組み合わせており、外部領域におけるモンジュ＝アンペール方程式、二次ヘッセ行列方程式、逆調和ヘッセ行列方程式へと結果を拡張する。

ABSTRACT

We establish quadratic asymptotics for solutions to special Lagrangian equations with supercritical phases in exterior domains. The method is based on an exterior Liouville type result for general fully nonlinear elliptic equations toward constant asymptotics of bounded Hessian, and also certain rotation arguments toward Hessian bound. Our unified approach also leads to quadratic asymptotics for convex solutions to Monge-Ampère equations (previously known), quadratic Hessian equations, and inverse harmonic Hessian equations over exterior domains.

研究の動機と目的

• 外部領域における超臨界位相を有する特殊ラグランジュ方程式について、外部 Bernstein 型の結果を確立すること。
• 超臨界位相を有する解が無限遠で一意的な二次多項式に漸近することを証明すること。
• 外部領域におけるモンジュ＝アンペール方程式、二次ヘッセ行列方程式、逆調和ヘッセ行列方程式の凸解について、漸近的解析を拡張すること。
• 外部リウヴィル定理と回転に関する議論を統合したフレームワークを構築し、ヘッセ行列の成長を制御し、有界性を確立すること。
• 臨界位相条件が必要であることを示し、臨界位相を有する解が二次漸近的性質を示さない可能性があることの確認

提案手法

• 有界ヘッセ行列を有する一般の完全非線形強楕円的凹方程式について、外部リウヴィル定理を導出し、解のヘッセ行列が無限遠で収束することを保証する。
• クリーロフ＝サフォノフの弱ハーナック不等式とエヴァンズ＝クリーロフのヘッセ行列推定を用いて、解の純粋な2階微分を制御する。
• 前回の研究（Y02, Y06）で用いられた回転装置を応用し、勾配の有界性が保証されない状況下でも、一様楕円性とヘッセ行列の有界性を確保する。
• ラプラス方程式に変換可能な特殊ラグランジュ方程式を、有界ヘッセ行列を有する形に変換するためのルジャンドル変換を用いる。これにより、漸近的解析が可能になる。
• 変換空間においてシュアダー推定と発散に関する議論を適用し、n ≥ 3 および n = 2 の両ケースにおける正確な漸近展開を導出する。
• n = 2 の場合、π/2 の回転とδ関数の議論を用いて、複素解析を統合し、対数補正項を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部領域における超臨界位相を有する特殊ラグランジュ方程式の解が、二次多項式に漸近的に近づくことが示せるか？
• RQ2 外部領域において、解のヘッセ行列が無限遠で有界であり、収束するための条件は何か？
• RQ3 勾配の有界性が仮定されない場合、完全非線形楕円型方程式の解の漸近的挙動をどのように制御できるか？
• RQ4 漸近的結果は、モンジュ＝アンペール方程式、二次ヘッセ行列方程式、逆調和ヘッセ行列方程式など、他の方程式へどの程度拡張可能か？
• RQ5 臨界位相条件は二次漸近的性質に対して必要であり、それが満たされない場合、どのようなことが起こるか？

主な発見

• n ≥ 3 の場合、|Θ| > (n−2)π/2 を満たす任意の滑らかな解について、|x| → ∞ のとき u(x) = Q(x) + O_k(|x|^{2−n}) がすべての k ∈ ℕ に対して成り立つ。
• n = 2 の場合、解は |x| → ∞ のとき u(x) = Q(x) + (d/2)log(x^T(D²Q)²x) + O_k(|x|^{−1}) を満たし、すべての k ∈ ℕ に対して成り立つ。ここで d は境界積分により明示的に与えられる。
• 解のヘッセ行列は無限遠で定数行列 A に収束し、|x| → ∞ のとき D²u(x) = A + O_k(|x|^{−n}) が成り立つ。
• 漸近的二次多項式 Q(x) は一意的であり、そのヘッセ行列は無限遠における D²u の極限によって決定される。
• この手法は、外部領域におけるモンジュ＝アンペール方程式、二次ヘッセ行列方程式、逆調和ヘッセ行列方程式の凸解へ一様に適用可能である。
• 臨界位相条件 |Θ| ≥ (n−2)π/2 は必要であり、臨界位相における反例が存在することから、結果の鋭さが確認される。