[論文レビュー] A Better Alternative to Piecewise Linear Time Series Segmentation

Daniel Lemire|ArXiv.org|May 24, 2006

Time Series Analysis and Forecasting参考文献 34被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、モデルの複雑さや計算コストを増加させることなく、各セグメントで定数または線形多項式フィットの間で動的に選択することで、フィッティング誤差を低減する自己適応的時系列セグメンテーションモデルを提案する。従来の区分的線形セグメンテーションとは異なり、非線形トレンドを強制的に線形フィットでモデル化するのを避けるため、過剰適合を回避する。本手法は区間ごとのモデルの柔軟性を許容することで、合成データおよび実世界のデータで最大13%低い誤差を達成するが、線形時間性能を維持する。

ABSTRACT

Time series are difficult to monitor, summarize and predict. Segmentation organizes time series into few intervals having uniform characteristics (flatness, linearity, modality, monotonicity and so on). For scalability, we require fast linear time algorithms. The popular piecewise linear model can determine where the data goes up or down and at what rate. Unfortunately, when the data does not follow a linear model, the computation of the local slope creates overfitting. We propose an adaptive time series model where the polynomial degree of each interval vary (constant, linear and so on). Given a number of regressors, the cost of each interval is its polynomial degree: constant intervals cost 1 regressor, linear intervals cost 2 regressors, and so on. Our goal is to minimize the Euclidean (l_2) error for a given model complexity. Experimentally, we investigate the model where intervals can be either constant or linear. Over synthetic random walks, historical stock market prices, and electrocardiograms, the adaptive model provides a more accurate segmentation than the piecewise linear model without increasing the cross-validation error or the running time, while providing a richer vocabulary to applications. Implementation issues, such as numerical stability and real-world performance, are discussed.

研究の動機と目的

• 非線形トレンドが線形でモデル化される区分的線形時系列セグメンテーションにおける過剰適合を是正すること。
• 一様なモデルタイプを強制するのではなく、区間ごとに定数または線形モデルを選択可能にする手法により、セグメンテーションの精度を向上させること。
• 大規模データセットへのスケーラビリティを確保するため、線形時間性能と数値安定性を維持すること。
• 標準的な区分的線形モデルおよび定数モデルと比較して、フィッティング誤差および交差検証誤差の両方を低減すること。
• 平坦、上昇、下降トレンドの識別を必要とする応用分野において、より豊富で意味的に明確なセグメンテーション語彙を提供すること。

提案手法

• 本手法は、各候補分割点におけるl2誤差を最小化するトップダウンヒューリスティックを用い、定数フィットと線形フィットのどちらが誤差をより低減するかに基づいて、各セグメントのモデル選択を行う。
• モデルの複雑さは、回帰器の総数で測定される：定数セグメントは1、線形セグメントは2。全回帰器数の合計は指定されたkに制限される。
• O(n)時間で事前計算されたバッファを用いることで、O(nk)時間でトップダウンセグメンテーションを実現し、線形時間性能を達成する。
• 最適セグメンテーションの動的計画法による解法はO(n²k)時間で実行され、比較のための基準となる。
• 自己適応的モデルでは、区間が定数または線形のいずれかに設定可能であり、平坦領域を検出するために後処理を必要としない。
• 最小二乗フィッティングおよびバッファ計算の注意深い実装により、数値安定性が確保される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数と線形区間を組み合わせた混合モデルのセグメンテーション戦略は、一様な区分的線形モデルと比較して、フィッティング誤差を低減できるか？
• RQ2 自己適応的モデルは、フィッティング誤差を低減する一方で、交差検証誤差を維持または改善できるか？
• RQ3 特に線形時間で実行可能な規模において、自己適応的セグメンテーション手法は計算的に実行可能か？
• RQ4 心電図や株価などの実世界データにおいて、自己適応的モデルは標準的な区分的線形モデルおよび定数モデルを上回る性能を示すか？
• RQ5 後処理なしに、平坦と上昇といった明確に異なる行動を自己適応的モデルがよりよく同定できるか？

主な発見

• 合成のランダムウォークデータにおいて、同じモデル複雑度で自己適応的モデルは区分的線形モデルと比較して13%低いフィッティング誤差を達成した。
• 心電図データでは、k=10の条件下で自己適応的モデルが区分的線形モデルと比較して平均13%低いフィッティング誤差を達成し、交差検証誤差に増加は見られなかった。
• k=10の条件下で、自己適応的モデルはLOOCV（1つを除いた交差検証）誤差を平均10%低減した。
• ホワイトノイズデータにおいて、自己適応的モデルは区分的線形モデルと比較して平均5%低いフィッティング誤差を達成した。
• 自己適応的モデルの最適な動的計画法解法はO(n²k)時間で実行可能であり、中規模データセットには実用的だが、非常に大きなデータセットには非現実的である。
• 最適解が利用可能であるにもかかわらず、自己適応的トップダウンヒューリスティックは線形時間でほぼ最適な性能を達成し、小規模なkにおいて標準的なヒューリスティックを上回った。