[論文レビュー] A Beurling-Chen-Hadwin-Shen Theorem for Noncommutative Hardy Spaces Associated with Semifinite von Neumann Algebras with Unitarily Invariant Norms

Lauren Sager, Wenjing Liu|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、単位的不変で、局所的に $ Vert\cdot\rVert_1$-優勢的かつ互いに連続なノルムを備えた半有限 von Neumann 代数 $ vert\mathcal{M}$ 上の非可換 Hardy 空間に対して、非可換 Beurling-Chen-Hadwin-Shen 定理を確立する。$H^\infty$-不変部分空間を、非可換 Banach 関数空間 $\mathcal{I}(\tau)$、$L^\alpha(\mathcal{M},\tau)$、$\mathcal{M}\rtimes_\beta\mathbb{Z}$、および $B(\mathcal{H})$ において特徴づけ、それらが対角代数内の部分等長射および射影によって生成される部分空間の行和に分解されることを示す。

ABSTRACT

We introduce a class of unitarily invariant, locally $\|\cdot\|_1$-dominating, mutually continuous norms with repect to $τ$ on a von Neumann algebra $\mathcal{M}$ with a faithful, normal, semifinite tracial weight $τ$. We prove a Beurling-Chen-Hadwin-Shen theorem for $H^\infty$-invariant spaces of $L^α(\mathcal{M},τ)$, where $α$ is a unitarily invariant, locally $\|\cdot\|_1$-dominating, mutually continuous norm with respect to $τ$, and $H^\infty$ is an extension of Arveson's noncommutative Hardy space. We use our main result to characterize the $H^\infty$-invariant subspaces of a noncommutative Banach function space $\mathcal I(τ)$ with the norm $\|\cdot\|_{E }$ on $\mathcal{M}$, the crossed product of a semifinite von Neumann algebra by an action $β$, and $B(\mathcal{H})$ for a separable Hilbert space $\mathcal{H}$.

研究の動機と目的

• 古典的 Beurling 定理を、単位的不変ノルムを備えた半有限 von Neumann 代数上の非可換 Hardy 空間に拡張すること。
• $H^\infty$-不変部分空間を非可換 Banach 関数空間 $\mathcal{I}(\tau)$、$L^\alpha(\mathcal{M}\rtimes_\beta\mathbb{Z},\tau)$、および $B(\mathcal{H})$ において特徴づけること。
• 対角部分代数 $\mathcal{D} = H^\infty \cap (H^\infty)^*$ 内の射影および部分等長射を用いて、このような不変部分空間の構造定理を確立すること。

提案手法

• 半有限 von Neumann 代数 $\mathcal{M}$ とトレース的重み $\tau$ に対して、単位的不変で、局所的に $\|\cdot\|_1$-優勢的かつ互いに連続なノルムの族を導入すること。
• $H^\infty$ を、$\mathcal{M}$ の弱*閉な単位的部分代数とし、部分代数 $\mathcal{D}$ への忠実で正規な条件付き期待 $\Phi$ を持つものと定義し、半有限非可換 Hardy 空間の性質を満たすようにすること。
• 有限ランク作用素のノルム $\|x\|_{\mathcal{I}(\tau)} = \|\mu(x)\|_E$ による閉包として、非可換 Banach 関数空間 $\mathcal{I}(\tau)$ を構成すること。ここで $\mu(x)$ は $x$ の特異値関数である。
• スペクトル理論および対称ゲージノルムの理論を用いて、$\mathcal{M}$ 上の単位的不変ノルムを $\mathbb{C}^n$ 上の対称ゲージノルムに帰着させ、von Neumann の結果を一般化すること。
• $L^\alpha(\mathcal{M},\tau)$ や関連する空間における $H^\infty$-不変部分空間が、部分等長射 $u_\lambda$ および $\mathcal{D}$ 内の射影 $q$ によって生成される部分空間の行和に分解されることを証明すること。
• 主定理を $B(\mathcal{H})$ および $\mathcal{M}\rtimes_\beta\mathbb{Z}$ に適用し、それらの不変部分空間が、直交する部分等長射および射影の族によって生成されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位的不変ノルムを備えた半有限 von Neumann 代数に付随する非可換 Hardy 空間における $H^\infty$-不変部分空間は、どのように特徴づけられるか？
• RQ2 $L^\alpha(\mathcal{M},\tau)$、$\mathcal{M}\rtimes_\beta\mathbb{Z}$、および $B(\mathcal{H})$ における $H^\infty$-不変部分空間は、与えられたノルム条件のもとでどのような構造的性質を有するか？
• RQ3 古典的 Beurling 定理およびその非可換設定への拡張は、単位的不変ノルムを備えた非可換 Banach 関数空間へどの程度一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、$\alpha$ が $\tau$ に関して単位的不変で、局所的に $\|\cdot\|_1$-優勢的かつ互いに連続なノルムであると仮定したもとで、$L^\alpha(\mathcal{M},\tau)$ における $H^\infty$-不変部分空間に対して非可換 Beurling-Chen-Hadwin-Shen 定理を証明する。
• クロス積 $\mathcal{M}\rtimes_\beta\mathbb{Z}$ に対して、不変部分空間 $\mathcal{K}$ は $\mathcal{K} = (L^\alpha(\mathcal{M}\rtimes_\beta\mathbb{Z},\tau)q) \otimes^{\text{row}} (\otimes^{\text{row}}_{\lambda\in\Lambda} H^\alpha u_\lambda)$ に分解され、ここで $q$ は射影であり、$\{u_\lambda\}$ は直交性および台の条件を満たす部分等長射である。
• $B(\mathcal{H})$ において、不変部分空間 $\mathcal{K}$ は $\oplus^{\text{row}}_{\lambda\in\Lambda} H^\alpha u_\lambda$ に等長同型である。ここで $u_\lambda$ は $H^\infty$ 内の部分等長射であり、$\lambda \neq \mu$ ならば $u_\lambda u_\mu^* = 0$ かつ $u_\lambda u_\lambda^* \in \mathcal{D}$ を満たす。
• この特徴づけは、ネット収束条件 $\alpha((e_\lambda - I)x) \to 0$ が満たされる任意の単位的不変ノルム $\alpha$ に対して成り立つ。ここで $e_\lambda \uparrow I$ は弱*位相で収束する。
• この結果は、$B(\mathcal{H})$ の下三角部分代数および上三角部分代数の両方へ拡張可能であり、不変部分空間に対する類似の分解定理が成り立つ。
• 不変部分空間の構造は、完全に対角代数 $\mathcal{D} = H^\infty \cap (H^\infty)^*$、$\mathcal{D}$ 内の射影、および $H^\infty$ 内の直交部分等長射の族によって決定される。