[論文レビュー] A Bhatnagar-Gross-Krook Approximation to Stochastic Scalar Conservation Laws

Martina Hofmanová|arXiv (Cornell University)|May 28, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、乗法的ノイズを伴うスカラー保存則の運動論的解への確率的Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）モデルの収束を確立する。確率的特徴線法とεに関する一様推定を用いて、初期データの積分可能性を最小限に抑えた条件下で、BGK解の強い収束を示し、決定的BGK理論を確率的設定に拡張する。

ABSTRACT

Abstract. We study a BGK-like approximation to hyperbolic conserva-tion laws forced by a multiplicative noise. First, we make use of the stochastic characteristics method and establish the existence of a solu-tion for any fixed parameter ε. In the next step, we investigate the limit as ε tends to 0 and show the convergence to the kinetic solution of the limit problem.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズによって駆動される確率的スカラー保存則に対する決定的BGK近似枠組みを拡張すること。
• 任意の固定ε > 0に対して、確率的BGKモデルの弱解の存在を確立すること。
• ε → 0のときの確率的BGKモデルの流体力学的極限を証明し、確率的保存則の運動論的解への収束を示すこと。
• 初期データに対する有界性仮定を緩和し、有界性ではなくu₀ ∈ Lᵖ(Ω × 𝕋ᴺ) for all p ∈ [1, ∞) として、すべてのp ∈ [1, ∞) に対して有効となるようにすること。
• 確率的特徴線におけるξ変数の尾部挙動を制御するための新規手法を開発し、速度空間におけるコンパクト性の喪失を克服すること。

提案手法

• Kunitaの確率的特徴線法を用いて補助問題を解析し、固定εにおける確率的BGKモデルの弱解の存在を確立する。
• 非線形緩和項、確率的フラックス項Φ dW、およびG²を含む2次項を含む確率的PDEによって確率的BGKモデルを定義する。
• 関数F^ε = f^ε + 1_{ξ>0}の変換を導入し、符号付き測度に類似した関数として方程式を再定式化し、解析を容易にする。
• ξに関するモーメントの有界性と積分可能性を活用して、局所的密度u^εおよび運動論関数F^εに関するεに関する一様推定を導出する。
• DebusscheとVovelleの還元定理を適用し、極限が運動論的解として特定されることを保証し、ν = δ_uおよびF = 1_{u>ξ}を導出する。
• 一様可積分性とテスト関数の近似を用いて、Lᵖ(Ω × [0,T] × 𝕋ᴺ × ℝ)におけるχ_{u^ε}からχ_uへの強いLᵖ収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的BGKモデルは、乗法的ノイズを伴う確率的スカラー保存則に対する有効な近似として機能するか？
• RQ2 ε → 0のとき、確率的BGKモデルの流体力学的極限として、確率的保存則の運動論的解が出現するか？
• RQ3 ξ座標の特徴線が確率的に変化するため、速度空間でのコンパクト性を失う状況下で、確率的設定における一様推定をどのように得られるか？
• RQ4 初期データu₀に対して、BGK近似の収束を保証するための最小限の積分可能性条件は何か？
• RQ5 古典的な決定的仮定を越えて、初期データの有界性を仮定せず、収束を確立できるか？

主な発見

• 任意の固定ε > 0に対して、確率的特徴線法を用いて、確率的BGKモデルに一意な弱解が存在することが示された。
• ε → 0のとき、解F^εはL^∞(Ω × [0,T] × 𝕋ᴺ × ℝ)においてχ_uに弱*収束する。
• u₀ ∈ Lᵖ(Ω × 𝕋ᴺ) for all p ∈ [1, ∞) という仮定の下で、局所的密度u^εはLᵖ(Ω × [0,T] × 𝕋ᴺ)においてすべてのp ∈ [1, ∞) に対して強い収束を示す。
• 一様可積分性とモーメントの有界性のおかげで、均衡関数χ_{u^ε}はLᵖ(Ω × [0,T] × 𝕋ᴺ × ℝ)においてすべてのp ∈ [1, ∞) に対してχ_uに強い収束を示す。
• f^εがLᵖ(Ω × [0,T] × 𝕋ᴺ × ℝ)においてすべてのp ∈ [1, ∞) に対してχ_uに収束することを確認し、BGKモデルの流体力学的極限が成立することを裏付けた。
• 還元定理により、極限解Fは確率的保存則の運動論的解として特定され、F = 1_{u>ξ}およびデルタ測度ν = δ_uが得られた。