[論文レビュー] A bi-projection method for incompressible Bingham flows with variable density, viscosity and yield stress

Rénald Chalayer, Laurent Chupin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、空間的・時間的に変化する密度、塑性粘度、降伏忤を有する非圧縮性ビンガム流れのための二重投影数値スキームを提示する。時間分割法と、塑性忤テンソルに適用するウツァ型投影に加え、擬似時間緩和項を導入することで、固定点反復の幾何的収束を保証し、時間に関して1次精度を達成するとともに、無条件安定性と密度の有界性を確保する。

ABSTRACT

A new numerical scheme for solving incompressible Bingham flows with variable density, plastic viscosity and yield stress is proposed. The mathematical and computational difficulties due to the non-differentiable definition of the stress tensor in the plug regions, i.e. where the strain-rate tensor vanishes, is overcome by using a projection formulation as in the Uzawa-like method for viscoplastic flows. This projection definition of the plastic tensor is coupled with a fractional time-stepping scheme designed for Newtonian incompressible flows with variable density. The plastic tensor is treated implicitly in the first sub-step of the fractional time-stepping scheme and a fixed-point iterative procedure is used for its computation. A pseudo-time relaxation term is added into the Bingham projection whose effect is to ensure a geometric convergence of the fixed-point algorithm. This is a key feature of the bi-projection scheme which provides a fast and accurate computation of the plastic tensor. Stability and error analyses of the bi-projection scheme are provided. The use of the discrete divergence-free velocity to convect the density in the mass conservation equation allows us to derive lower and upper bounds for the discrete density. The error induced by the pseudo-time relaxation term is controlled by a prescribed numerical parameter so that a first-order estimate of the time error is derived for the velocity field and the density, as well as the dependent parameters that are the plastic viscosity and the yield stress.

研究の動機と目的

• 可変密度、塑性粘度、降伏忤を有する非圧縮性ビンガム流れのための安定的かつ高精度な数値スキームの開発。
• ひずみ率が0となるプラグ領域におけるビンガムの物性則の微分不能性を克服すること。
• 正則化に依存せずに、降伏表面およびプラグ領域を高精度に解像すること。
• 従来、定数パラメータの流れに用いられてきた二重投影フレームワークを、厳密な安定性および誤差解析を伴って、可変パラメータの流れに拡張すること。
• 連続の式における密度の移流に発散なしの速度場を用いることで、密度の離散的最大原理を保存すること。

提案手法

• 時間分割法を採用し、時間ステップを予測ステップと投影ステップに分割する。
• 塑性忤テンソルは、擬似時間緩和項を含むウツァ型投影式に固定点反復を適用することで計算する。これにより、固定点反復の幾何的収束が保証される。
• 擬似時間緩和項は、パラメータ θ によって制御され、時間ステップ δt に比例するように選ばれることで、1次精度を維持する。
• 連続の式において、密度の移流に発散なしの速度場を用いることで、密度の離散的下限および上限が保証される。
• 塑性忤の投影と圧力補正法を組み合わせることで、変数係数楕円型方程式を解く必要がなくなる。
• エネルギー法、離散グロワンウォールの補題、および速度、圧力、応力の時間微分に関する境界を用いて、安定性および誤差推定が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変密度、塑性粘度、降伏忤を有する非圧縮性ビンガム流れに、二重投影スキームを拡張可能か。その際、安定性と精度が保持されるか。
• RQ2 ビンガム投影に擬似時間緩和項を組み込むことで、固定点アルゴリズムの収束速度および誤差境界にどのような影響を与えるか。
• RQ3 連続の式における移流項として発散なしの速度場を用いることで、離散的密度の時間発展およびその有界性にどのような影響を与えるか。
• RQ4 塑性忤テンソルを陰的に取り扱い、緩和付き固定点反復により解く場合、時間に関して1次精度が保持されるか。
• RQ5 可変物性を有する状況下で、速度、密度、および関連パラメータ（塑性粘度、降伏忤）の理論的誤差境界は何か。

主な発見

• スキームは時間に関して1次精度を達成し、誤差は O(√(δt(δt + θ))) で有界であり、θ が δt に比例するように選ばれると O(δt) に簡略化される。
• 擬似時間緩和項により、塑性忤テンソルの固定点反復が幾何的収束を示し、共通比 (1 - θ) を有する。
• 連続の式における移流に発散なしの速度場を用いることで、密度の離散的下限および上限が保証され、最大原理が保存される。
• スキームは無条件安定であり、速度および密度の誤差は時間ステップや緩和パラメータに依存しない。
• 塑性忤テンソルの誤差は所定の数値パラメータで制御され、全変数について1次収束性が維持される。
• 理論的解析により、擬似緩和項がスキームの時間精度を低下させないことが確認され、エネルギー推定および離散グロワンウォールの補題を用いて証明された。