[論文レビュー] A Big-Data Approach to Handle Process Variations: Uncertainty Quantification by Tensor Recovery

Zheng Zhang, Tsui-Wei Weng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、高次元の集積回路およびMEMSにおける不確実性評価を効率的に行うためのテンソル回復手法を提案する。この手法により、数百万個のシミュレーションサンプルをわずか数100回の実際のシミュレーションから推定可能となる。解のテンソルに見られる低ランクおよびスパース構造を活用することで、50個以上の確率的パラメータを有する問題に対してもテンソル積確率コロケーション法を拡張し、シミュレーションコストを著しく削減しながらも高い精度を維持する。

ABSTRACT

Stochastic spectral methods have become a popular technique to quantify the uncertainties of nano-scale devices and circuits. They are much more efficient than Monte Carlo for certain design cases with a small number of random parameters. However, their computational cost significantly increases as the number of random parameters increases. This paper presents a big-data approach to solve high-dimensional uncertainty quantification problems. Specifically, we simulate integrated circuits and MEMS at only a small number of quadrature samples, then, a huge number of (e.g., $1.5 \ imes 10^{27}$) solution samples are estimated from the available small-size (e.g., $500$) solution samples via a low-rank and tensor-recovery method. Numerical results show that our algorithm can easily extend the applicability of tensor-product stochastic collocation to IC and MEMS problems with over 50 random parameters, whereas the traditional algorithm can only handle several random parameters.

研究の動機と目的

• ナノスケールデバイスにおける高次元不確実性評価の分野で、従来の確率的コロケーション法が計算的に非現実的であるという問題に対処すること。
• 50個以上の確率的プロセス変動パラメータを有する集積回路およびMEMSにおいて、効率的な不確実性評価を可能にすること。
• 低ランクテンソル回復を用いて、トリリオン個のシミュレーションサンプルを数100回のシミュレーションにまで削減すること。
• 極めて高いデータ圧縮率にもかかわらず、デバイス性能の統計的特性の精度を維持すること。
• 本手法の有効性を、高次元パラメータ空間を持つ実世界のICおよびMEMS設計に対して実証すること。

提案手法

• 確率的コロケーション問題の全解空間を、すべての必要なシミュレーションサンプルを含む高次元テンソルとして表現する。
• 実際にサンプリングされた少数のシミュレーションから、全テンソルを推定するための低ランクかつスパースなテンソル回復問題を定式化する。
• 低ランクおよびスパarsity制約を満たす非凸最適化問題を、交替方向乗数法（ADMM）を用いて解く。
• 高次元問題における計算複雑性の低減とスケーラビリティの向上を図るため、テンソル・トレイン分解を適用する。
• 解の表現および統計的モーメントの計算に、一般化されたポリノミアルクラウス（gPC）展開を組み込む。
• 交差検証を用いて回復されたテンソルの相対誤差を評価し、精度を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル回復技術は、ICおよびMEMSにおける高次元不確実性評価のためのシミュレーション回数を著しく削減できるか？
• RQ2 低ランクかつスパースなテンソル回復手法は、わずか数100回のシミュレーションからトリリオン個の解サンプルを推定する場合に、どの程度の精度を維持できるか？
• RQ3 従来のテンソル積およびスパースグリッド確率的コロケーション法と比較して、本手法は効率性および精度の面でどのように優れているか？
• RQ4 本手法は、50個以上の確率的プロセス変動パラメータを有する実世界のICおよびMEMS設計を処理できるか？
• RQ5 回復された解は、モンテカルロ法（5,000サンプル）と同等の精度でデバイス性能の統計的分布を保持できるか？

主な発見

• 46個の確率的パラメータを有するMEMSコンデンサに対して、300回のシミュレーションで相対近似誤差がたった0.1%にまで低下した。
• 57個のパラメータを有する7段階CMOSリングオシレータに対しては、500回のシミュレーションで回復テンソルの相対誤差が1%にまで低下した。
• MEMS例では70回未満、リングオシレータ例では46回の反復で収束が確認され、高速収束を示した。
• MEMSでは一般化されたポリノミアルクラウス係数の相対誤差が10⁻⁴未満、オシレータでは1%未満にまで低下し、高い精度が裏付けられた。
• 回復モデルから得られた出力（静電容量および周波数）の確率密度関数は、5,000サンプルのモンテカルロ法とほとんど区別がつかないほど一致した。
• gPC展開における基底関数の数（1,711個）よりも必要なシミュレーション回数（300〜500回）が著しく少なかったため、計算上の優位性が明確に示された。