[論文レビュー] A birational Nevanlinna constant and its consequences

Min Ru, Paul Vojta|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2016

Meromorphic and Entire Functions参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、射影的代数多様体上の有効なカーティエ除集合に対して、Nevanlinna理論およびディオファントス近似における先行研究を一般化・拡張する、双有理的Nevanlinna定数を導入する。AutissierのフィルトレーションとWeil関数を活用することで、Evertse–FerrettiおよびRuの結果を回復・強化する統一的な枠組みを確立し、双有理的Nevanlinna定数が1未満であるならば、除集合の補集合上の整数点は退化する、すなわち適切なZariski閉部分集合に含まれることを示す。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to modify the notion of the Nevanlinna constant $\operatorname{Nev}(D)$, recently introduced by the first author, for an effective Cartier divisor on a projective variety $X$. The modified notion is called the birational Nevanlinna constant and is denoted by $\operatorname{Nev}_{ ext{bir}}(D)$. By computing $\operatorname{Nev}_{ ext{bir}}(D)$ using the filtration constructed by Autissier in 2011, we establish a general result (see the General Theorem in the Introduction), in both the arithmetic and complex cases, which extends to general divisors the 2008 results of Evertse and Ferretti and the 2009 results of the first author. The notion $\operatorname{Nev}_{ ext{bir}}(D)$ is originally defined in terms of Weil functions for use in applications, and it is proved later in this paper that it can be defined in terms of local effectivity of Cartier divisors after taking a proper birational lifting. In the last two sections, we use the notion $\operatorname{Nev}_{ ext{bir}}(D)$ to recover the proof of an example of Faltings from his 2002 Baker's Garden article.

研究の動機と目的

• 元のNevanlinna定数定義の限界を解消すること。特に、証明においてWeil関数の点ごとの最大値を扱う必要があるが、それ自体がWeil関数でない場合に問題が生じる。
• 双有理的リフトにおける局所的効果性を扱える、より一般な不変量である「双有理的Nevanlinna定数」を構築すること。
• Evertse–Ferretti（2008年）およびRu（2009年）の結果を統一的に扱う枠組みを構築し、それらを拡張すること。
• Faltings自身が2002年のBaker’s Gardenの論文で提示した例を、新しい不変量を用いて再現すること。
• 双有理的Nevanlinna定数とEvertse–Ferretti定数の比較を確立し、前者が常に後者以下であることを示すこと。

提案手法

• 線形部分空間 $V \subseteq H^0(X,\mathscr{L}^N)$ で $\dim V > 1$ かつ有理数 $\mu > 0$ を満たす三つ組 $(N,V,\mu)$ を用いて、双有理的Nevanlinna定数 $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(\mathscr{L},D)$ を定義する。ここで、$V$ の基底に関するWeil関数の最大値が、定数を除いて $\mu N \lambda_D$ を支配する。
• 2011年におけるAutissierのフィルトレーションを用いて、必要な三つ組を構成し、定数が有限であるために必要な成長条件を確認する。
• 適切な双有理的リフトの下で、局所的効果性に関する条件と双有理的Nevanlinna定数が同値であることを証明する。
• 比較定理を確立し、$\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(\mathscr{L},D) \leq \operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}(\mathscr{L},D)$ が成り立つことを示す。ここで $\operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}$ はEvertse–Ferretti定数である。
• 理論を応用し、Faltingsの2002年論文における例を再現する。具体的には、与えられた条件下で双有理的Nevanlinna定数が1未満であることを示す。
• 比較結果を用いて、$\operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}(D) < 1$ ならば、$X$ 上のすべての $D$-整数点が適切なZariski閉部分集合に含まれることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元のNevanlinna定数は、Weil関数の最大値が必要となるが、それ自体がWeil関数でない場合に一般化可能か？
• RQ2 新しい双有理的Nevanlinna定数は、Nevanlinna理論およびディオファントス近似における既知の結果を回復・拡張する統一的枠組みを提供するか？
• RQ3 双有理的Nevanlinna定数は常にEvertse–Ferretti定数以下であるか？その結果、整数点の退化にどのような意味を持つのか？
• RQ4 新しい不変量を用いて、Faltings自身が2002年のBaker’s Gardenの論文で提示した古典的結果を再証明可能か？
• RQ5 双有理的Nevanlinna定数が1未満であるという条件が、$X \setminus D$ 上の整数点が退化することを示すには、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• 双有理的Nevanlinna定数 $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(\mathscr{L},D)$ はWeil関数とフィルトレーションデータを用いて定義され、適切な双有理的リフトの下で、局所的効果性に関する条件と同値であることが示された。
• 本稿では $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(\mathscr{L},D) \leq \operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}(\mathscr{L},D)$ を証明し、新しい不変量が常にEvertse–Ferretti定数以下であることを確立した。
• $\operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}(D) < 1$ のとき、本稿は $X$ 上のすべての $D$-整数点が適切なZariski閉部分集合に含まれることを結論づけ、その結果、適切な閉部分集合の外では有限性が保証される。
• この枠組みにより、Faltings自身が2002年の論文で提示した例を成功裏に再現した。具体的には、$\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(D) < 1$ ならば整数点が退化することを示した。
• 任意の射影的代数多様体 $X$ および有効なカーティエ除集合 $D$ に対して、$\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(D) < 1$ ならば、$\mathbb{C}$ から $X \setminus D$ へのすべての整関数的写像 $f$ でZariski稠密な像を持つものは、すべて退化する。
• 本手法により、フィルトレーション技術を用いて双有理的Nevanlinna定数を体系的に計算する方法が得られ、非線形的同値でない除集合に対しても、新たな退化結果の導出が可能になった。