[論文レビュー] A bivariate extension of the Crouzeix-Palencia result with an application to Fréchet derivatives of matrix functions

Michel Crouzeix, Daniel Kreßner|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2020

Matrix Theory and Algorithms参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Crouzeix-Palenciaの不等式を2変数行列関数へ拡張し、$ f\{A,B\} $ のスペクトルノルムが $ W(A) \times W(B) $ 上の $ |f| $ の最大値の $ (1+\sqrt{2})^2 $ 倍で有界であることを証明する。ここで $ W(\cdot) $ は数値範囲を表す。この結果は、行列関数のFréchet微分を評価し、行列関数近似のためのKrylov部分空間法の収束解析に応用される。

ABSTRACT

A result by Crouzeix and Palencia states that the spectral norm of a matrix function $f(A)$ is bounded by $K = 1+\sqrt{2}$ times the maximum of $f$ on $W(A)$, the numerical range of $A$. The purpose of this work is to point out that this result extends to a certain notion of bivariate matrix functions; the spectral norm of $f\{A,B\}$ is bounded by $K^2$ times the maximum of $f$ on $W(A) imes W(B)$. As a special case, it follows that the spectral norm of the Fréchet derivative of $f(A)$ is bounded by $K^2$ times the maximum of $f^\prime$ on $W(A)$. An application to the convergence analysis of certain Krylov subspace methods and the extension to functions in more than two variables are discussed.

研究の動機と目的

• 1変数から2変数行列関数へのCrouzeix-Palencia結果の拡張を目的とする。
• 数値範囲 $ W(A) \times W(B) $ を用いた2変数行列関数 $ f\{A,B\} $ の鋭いスペクトルノルムの上限を確立すること。
• この上限を用いて、行列関数のFréchet微分の推定値を導出すること。
• $ f\{A,B\}c $ の近似におけるKrylov部分空間法の収束解析を支援すること。
• 変数の数に指数的依存性を示す多変数関数への一般化を目的とする。

提案手法

• 2変数行列関数 $ f\{A,B\} $ を、リソボルブェントを含む二重閉路積分で定義する：$ f\{A,B\} = -\frac{1}{4\pi^2} \oint_{\Gamma_A} \oint_{\Gamma_B} f(x,y) (yI - B)^{-1} \otimes (xI - A)^{-1} dy dx $。
• 行列値版のCrouzeix-Palencia不等式を用いて、$ \|f\{A,B\}\|_2 \leq (1+\sqrt{2})^2 \|f\|_{W(A)\times W(B)} $ を証明する。
• $ f^{[1]}\{A,A^T\} $ がFréchet微分 $ Df\{A\} $ を表すことに着目し、2変数結果を用いてノルムの上限を導出可能である。
• Krylov部分空間法に適用するため、$ f\{A,B\}c $ の誤差を $ W(A) \times W(B) $ 上の多項式近似に関連付ける。
• 多変数関数 $ d $-変数関数へ一般化し、定数が $ (1+\sqrt{2})^d $ に比例することを示す。正規行列が含まれる場合に改善が得られることも示す。
• $ W(U_k^*AU_k) \subset W(A) $ および $ W(V_\ell^*BV_\ell) \subset W(B) $ の包含関係を活用し、縮小行列への境界の転送を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Crouzeix-Palencia不等式を2変数行列関数へ拡張できるか？
• RQ2 2変数関数 $ f\{A,B\} $ のスペクトルノルムの上限における最適定数は何か？ これは $ f $ の $ W(A) \times W(B) $ 上での最大値に依存する。
• RQ3 この2変数境界を用いて、行列関数のFréchet微分をどのように推定できるか？
• RQ4 この境界は、2変数行列関数に対するKrylov部分空間法の収束解析に応用可能か？
• RQ5 多変数拡張における境界の変数数への依存性は何か？

主な発見

• 2変数行列関数 $ f\{A,B\} $ のスペクトルノルムは、$ \|f\{A,B\}\|_2 \leq (1+\sqrt{2})^2 \|f\|_{W(A)\times W(B)} $ を満たし、定数 $ (1+\sqrt{2})^2 \approx 5.828 $ である。
• 定数 $ (1+\sqrt{2})^2 $ は鋭く、$ 1+\sqrt{2} $ に小さくはできない。反例として、$ A=B=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix} $、$ f(x,y)=xy $ を用い、$ \|f\{A,B\}\|_2 = 1 $、$ \|f\|_{W(A)\times W(B)} = 1/4 $ を得る。
• 行列関数 $ f(A) $ のFréchet微分は、$ \|Df\{A\}\|_2 \leq (1+\sqrt{2})^2 \|f'\|_{W(A)} $ を満たし、固有ベクトルの条件数に依存しない条件数の上限が得られる。
• Krylov部分空間による $ f\{A,B\}c $ の近似において、誤差は $ \|f\{A,B\}c - x_{k,\ell}\|_2 \leq 2(1+\sqrt{2})^2 \|c\|_2 \inf_{p \in \Pi_{k-1,\ell-1}} \|f - p\|_{W(A)\times W(B)} $ で有界であり、収束性が2変数多項式近似に結びつく。
• 多変数関数への一般化では、定数が $ (1+\sqrt{2})^d $ に比例するが、これは最適であり、追加の仮定なしには改善できない。
• もし $ d $ 個の行列のうち $ k $ 個が正規であれば、定数は $ (1+\sqrt{2})^{d-k} $ に減少し、正規の場合の安定性向上を反映する。