[論文レビュー] A Black--Scholes Model with Long Memory

John A. D. Appleby, John A. Daniels+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、過去のリターンに依存する確率的関数微分方程式によって長記憶を組み込むことで、ブラック・ショールズ枠組みを拡張する連続時間確率的ボラティリティモデルを導入する。長距離自己相関が発生するのは、記憶核の一次モーメントが無限大である場合に限り、正規変動核の下で自己共分散関数の正確な漸近的減衰率が導出される。

ABSTRACT

This note develops a stochastic model of asset volatility. The volatility obeys a continuous-time autoregressive equation. Conditions under which the process is asymptotically stationary and possesses long memory are characterised. Connections with the class of ARCH($\infty$) processes are sketched.

研究の動機と目的

• 連続時間の長記憶確率的ボラティリティモデルを構築し、古典的なブラック・ショールズ枠組みを拡張すること。
• ボラティリティ過程が非自明な長距離自己相関を示す非自明な漸近的弱定常性を示す条件を特徴づけること。
• 連続時間モデルと離散時間ARCH(∞)過程との関係を確立すること。
• 記憶核が正規変動型である場合のボラティリティの自己共分散関数の正確な減衰率を特定すること。

提案手法

• モデルは、有限および無限の時間窓にわたる過去のトレンド除去リターンの重み付き平均に線形に依存する確率的関数微分方程式を用いる。
• ボラティリティ過程 V(t) は、合計 Variation および正規化条件を満たす記憶核 λ および κ の線形関数として定義される。
• 関連する積分方程式のスペクトル的性質を解析することで、V(t) の漸近的定常性および長距離自己相関を分析する。
• 正規変動理論およびタウバリアン定理を用いて、Δ → ∞ のときの自己共分散関数 γ(Δ) の正確な漸近的挙動を導出する。
• 離散時間の類似モデルは連続ケースを模倣し、Vn+1 は過去のノイズの重み付き和によって駆動され、ARCH(∞) に類似しているが、ボラティリティ過程自体に適用される。
• 理論的結果は、確率的微積分、マルティンググール理論、および畳み込み型方程式の漸近的解析を用いて導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案モデルにおけるボラティリティ過程が漸近的弱定常性を示す条件は何か？
• RQ2 ボラティリティ過程が、可積分でない自己共分散関数を持つこととして定義される長距離自己相関を示すのはいつか？
• RQ3 記憶核の密度が正規変動型である場合、ボラティリティの自己共分散関数の正確な減衰率は何か？
• RQ4 提案された連続時間モデルは離散時間ARCH(∞)過程とどのように関係しているか？
• RQ5 記憶核の一次モーメントが長記憶の有無を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• ボラティリティ過程 V(t) は、記憶核 κ が一次モーメントを有限に持ち、安定性条件 β²∫₀^∞ K²(s)ds < 1 を満たす場合に限り、漸近的弱定常性を示す。
• 長距離自己相関は、記憶核 κ が一次モーメントを無限大に持つ場合に限り発生する。すなわち、∫₀^∞ s κ(ds) = ∞ である。
• 記憶核 k(s) が指数 -1-α (α ∈ (0,1/2)) で正規変動型であるとき、自己共分散関数は Δ → ∞ のとき γ(Δ) ∼ C Δ¹⁻²ᵃ と漸近的に減少する。
• α > 1 で k(s) ∈ RV∞(-1-α) の場合、自己共分散関数は γ(Δ) ∼ C Δ⁻ᵃ と減少し、C は σ、β、および核ノルムに依存する。
• k(s) = L(s)s⁻³/² で L がゆっくり変動するとき、K ∈ L²(0,∞) であるための必要十分条件は ∫₁^∞ L(t)²/t dt < ∞ であり、この場合、γ(Δ) ∼ C ∫Δ^∞ L(s)²/s ds と漸近的に減少する。
• 離散時間類似モデルでは、ボラティリティ過程が漸近的定常性を示すのは、核系列 (K_n) が二乗可summable かつ β²∑K_j² < 1 である場合に限り、長記憶は ∑j a_j = ∞ と同値である。