[論文レビュー] A block preconditioned iterative method for Interior Penalty Discontinuous Galerkin discretisations of heterogeneous Stokes flow

Dominic Etienne Charrier, Dave A. May+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、可変粘度ストークス流れの高次不連続ガラーキン離散化に、$Q^2_k$--$Q_{k-1}$ 要素と階層的ルジャンドル多項式を用いて、ブロック事前条件付き反復解法を提案する。局所的粘度に基づく鋭いペナルティパラメータの選択により、粘度の飛びと多項式次数 $k$ に対して収束が安定であることが示された。

ABSTRACT

Provable stable arbitrary order symmetric interior penalty discontinuous Galerkin (SIP) discretisations of variable viscosity, incompressible Stokes flow utilising $Q^2_k$--$Q_{k-1}$ elements and hierarchical Legendre basis polynomials are developed and investigated.For solving the resulting linear system, a block preconditioned iterative method is proposed. The nested viscous problem is solved by a $hp$-multilevel preconditioned Krylov subspace method. For the $p$-coarsening, a twolevel method utilising element-block Jacobi preconditioned iterations as a smoother is employed. Piecewise bilinear ($Q^2_1$) and piecewise constant ($Q^2_0$) $p$-coarse spaces are considered. Finally, Galerkin $h$-coarsening is proposed and investigated for the two $p$-coarse spaces considered. Through a number of numerical experiments, we demonstrate that utilising the $Q^2_1$ coarse space results in the most robust $hp$-multigrid method for variable viscosity Stokes flow. Using this $Q^2_1$ coarse space we observe that the convergence of the overall Stokes solver appears to be robust with respect to the jump in the viscosity and only mildly depending on the polynomial order $k$. It is demonstrated and supported by theoretical results that the convergence of the SIP discretisations and the iterative methods rely on a sharp choice of the penalty parameter based on local values of the viscosity.

研究の動機と目的

• 可変粘度を伴う非圧縮性ストークス流れに対して、安定で任意の次数の対称内部ペナルティ不連続ガラーキン（SIPDG）法を開発すること。
• 高次DG離散化から生じる線形方程式系に対する効率的な反復解法を設計すること。
• 大きな粘度ジャンプと多様な多項式次数 $k$ に対して、反復法の収束がロバストであることを保証すること。
• $hp$-マルチグリッドの文脈において、異なる $p$-コarsespaceと $h$-粗化戦略の性能を調査すること。
• 理論的および数値的に、ペナルティパラメータが最適な収束を得るために局所的粘度値に基づいて選択されなければならないことを確立すること。

提案手法

• ストークス問題は、任意の多項式次数 $k$ に対して、階層的ルジャンドル基底多項式を用いた $Q^2_k$--$Q_{k-1}$ 有限要素法で離散化される。
• 線形方程式系はブロック事前条件付きのクリロフ部分空間法で解かれる。粘性項の問題は $hp$-マルチレベル法で解かれる。
• $p$-粗化には二レベル法が用いられ、スムージングとして要素ブロックヤコビ事前条件付きが使用される。
• 二つの $p$-コarsespaceが検討された：分片的バイリニア（$Q^2_1$）および分片的定数（$Q^2_0$）有限要素空間。
• $p$-コarsespaceの両方に対して、ロバスト性を向上させるために $h$-粗化戦略が導入され、評価された。
• SIPDG定式化におけるペナルティパラメータは、安定性と最適収束を確保するために局所的粘度値に基づいて選ばれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $p$-コarsespaceが可変粘度ストークス流れの $hp$-マルチグリッド解法の収束に影響を与えるか？
• RQ2 $p$-粗化と組み合わせた $h$-粗化が、$hp$-マルチグリッド法のロバスト性を向上させ得るか？
• RQ3 ペナルティパラメータが可変粘度問題におけるSIPDG離散化の安定性と収束に与える影響は何か？
• RQ4 解法のスケーリング性能は、多項式次数 $k$ と粘度ジャンプの両方に対してどのように変化するか？
• RQ5 反復解法の収束は、広範な粘度対比の範囲でロバストか？

主な発見

• $Q^2_1$ $p$-コarsespaceは、可変粘度ストークス流れの $hp$-マルチグリッド解法において最もロバストな性能を示した。
• 全体の反復解法の収束は、大きな粘度ジャンプに対してロバストであり、多項式次数 $k$ に対しては僅かに依存するにとどまる。
• 局所的粘度値に基づいてペナルティパラメータを設定することが、最適収束と安定性の両方にとって不可欠である。
• 理論的分析により、SIPDG離散化および反復法の収束は、この鋭いペナルティパラメータ選択に依存することが示された。
• 数値実験により、さまざまなテストケースにおいて $Q^2_1$ が $Q^2_0$ よりもロバスト性と収束速度の両面で優れていることが確認された。
• $p$-粗化と $h$-粗化の組み合わせにより、解法のロバスト性と効率性がさらに向上した。