[論文レビュー] A blow-up criterion for 3-D compressible visco-elasticity

Yi Du, Chun Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

Elasticity and Material Modeling参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、密度 ρ と歪みテンソル F の L^∞ 範囲が無限大に発散する場合に限り、局所的強い解の最大存在時間が有限であることを示すことで、3次元圧縮性粘弾性流れの爆発基準を確立する。解析はエネルギー推定、勾配の L^q 範囲制御、対数ソボレフ不等式を組み合わせ、\|ρ\|_{L^∞(0,T;L^∞)} + \|F\|_{L^∞(0,T;L^∞)} が有界であれば、\|∇u\|_{L^1(0,T;L^∞)} が有界であることを示し、これは既知の爆発条件と矛盾する。

ABSTRACT

In this paper, we shall prove a blow-up criteria in terms of the upper bound of the density, deformation tensor and the gradient of deformation tensor for 3D compressible visco-elasticity. Based on the structure of deformation tensor, we find a cancelation in higher order derivatives, which brings us the desired results.

研究の動機と目的

• 密度および歪みテンソルの上界に依存する3次元圧縮性粘弾性流れの爆発基準を確立すること。
• 圧縮性粘弾性における大規模初期データのグローバル存在問題を、主要な物理的量を用いて爆発を特徴付けることで解決すること。
• 圧縮性ストークス方程式における既知の爆発基準を、微視的構造の結合を有するより複雑な粘弾性系へと拡張すること。
• ρ および F の L^\infty 範囲に依存する、最大存在時間が有限であるための十分条件を提示すること。

提案手法

• 連続の方程式および歪みテンソル方程式から ∇ρ および ∇F の時間発展方程式を導出する。
• 重み付きエネルギー法を用いて、ρ^{1/q}∇ρ および ρ^{1/q}∇F の L^q 範囲推定を適用する。
• 対数ソボレフ不等式を用いて、\|∇u\|_{L^∞} を \|∇^2 u\|_{L^q} および \|∇u\|_{L^∞} の項で上界評価する。
• ∇ρ および ∇F の組み合わせた L^q 範囲にグロンウォール型不等式を適用し、成長を制御する。
• 恒等式 ρ^{-1} = det F / ρ_0 を用いて、F の有界性が ρ^{-1} の有界性にどのように関連するかを示し、正則性を保証する。
• 背理法を用いる：\|ρ\|_{L^∞} + \|F\|_{L^∞} が有界であると仮定し、\|∇u\|_{L^1(0,T^\star;L^∞)} < ∞ を導出し、Hu-Wang の爆発基準と矛盾させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元圧縮性粘弾性系の解は、どのような条件下で有限時間内に爆発するか？
• RQ2 解の爆発が、密度 ρ および歪みテンソル F の L^\infty 範囲によって特徴付けられるか？
• RQ3 \|ρ\|_{L^∞(0,T;L^∞)} + \|F\|_{L^∞(0,T;L^∞)} が有界であれば、粘弾性系における爆発は防げるか？
• RQ4 速度、密度、歪みテンソルの間の結合が、解の正則性にどのように影響するか？
• RQ5 粘弾性系において、∇u の L^1(0,T;L^∞) 範囲が ρ および F の有界性によって制御可能か？

主な発見

• 最大存在時間 T^\star が有限であることは、\|ρ\|_{L^∞(0,T^\star;L^∞)} + \|F\|_{L^∞(0,T^\star;L^∞)} = ∞ であることに同値であり、密度および歪みテンソルの有界性に基づく爆発基準を確立する。
• \|ρ\|_{L^∞(0,T;L^∞)} + \|F\|_{L^∞(0,T;L^∞)} が有界であれば、\|∇u\|_{L^1(0,T;L^∞)} < ∞ であることが示され、Hu-Wang の爆発条件と矛盾する。
• エネルギー推定とグロンウォールの不等式を用いて、∇ρ および ∇F の L^q 範囲が制御可能であり、対数ソボレフ埋め込みを用いて \|∇u\|_{L^∞} が上界評価されている。
• 恒等式 ρ^{-1} = det F / ρ_0 により、F ∈ L^∞ かつ ρ_0 ≥ ε_0 > 0 であれば、ρ^{-1} が有界であることが保証され、F の正則性と ρ の正則性が関連づけられる。
• 証明は背理法に依拠しており、\|ρ\|_{L^∞} + \|F\|_{L^∞} が有限であれば、\|∇u\|_{L^1(0,T^\star;L^∞)} が有限であることが導かれ、Hu-Wang の既知の爆発条件に反する。
• 本結果により、圧縮性ストークス方程式における爆発基準が、フック則を有する3次元圧縮性粘弾性系へと拡張された。