[論文レビュー] A blow-up criterion for the compressible liquid crystals system

Xiangao Liu, Lanming Liu|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2010

Navier-Stokes equation solutions参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、圧縮性液晶系の爆発基準を確立し、速度勾配の $ L^\infty $-ノルムと速度の $ W^{1,\infty} $-ノルムが時間に関して可積分である限り、強い解が正則のままであることを証明している。この基準は、Beale-Kato-MajdaおよびHuang-Xinの枠組みを液晶流れに拡張し、特異性が発生するのは速度勾配が無限大に発散するときのみであることを示しており、勾配が有界な条件下では大域的存続が保証される。

ABSTRACT

In this paper, we establish a blow-up criterion for the compressible liquid crystals equations in terms of the gradient of the velocity only, similar to the Beale-Kato-Majda criterion \cite{majda} for ideal incompressible flows and the criterion obtained by Huang and Xin \cite{xin2} for the compressible Navier-Stokes equations.

研究の動機と目的

• 圧縮性ナビエ＝ストークス流れの既知の基準と同様に、速度勾配にのみ依存する圧縮性液晶系の爆発基準を確立すること。
• 真空中または大規模な初期データのもとでの強い解の大域的存続という未解決問題に取り組むこと。
• 強い解の最大存続時間が、$ L^\alpha $および$ W^{1,\infty} $ノルムにおける速度勾配の可積分性によって決定されることを証明すること。
• 古典的なBeale-Kato-Majda基準を、流体力学的項とネマチック秩序パラメータが結合されたより複雑な圧縮性液晶系に拡張すること。

提案手法

• 著者らは、爆発基準が成立しないと仮定する背理法を用いる。つまり、最大時刻 $ T^* $ まで速度勾配と $ W^{1,\infty} $-ノルムが可積分のままであると仮定する。
• エネルギー推定と楕円型正則性を用いて、$ \|\nabla u\|_{L^2} $、$ \|\sqrt{\rho}u_t\|_{L^2} $、$ \|\nabla d_t\|_{L^2} $、$ \|\nabla \rho\|_{L^6} $、および $ \|u\|_{H^2} $ といった主要な量の事前推定を導出する。
• Sobolev埋め込み、補間不等式、およびGronwallの不等式を用いて高階ノルムを制御し、推定を閉じる。
• 系の構造—速度場 $ u $ とディレクター場 $ d $ の間にナビエ＝ストークス方程式とGinzburg-Landau型方程式が結合された構造—が推定全体を通して保持される。
• 初期条件の整合性条件 (1.9) と初期正則性 (1.12) を用いて、局所的な強い解の存在を保証し、基準が成り立つ場合には $ T^* $ を超えて解を拡張可能であることを示す。
• 最終的な背理は、速度勾配ノルムの有界性が $ T^* $ を超えて解を拡張可能であることを示し、それによって $ T^* $ の最大性が破られることに起因する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮性液晶系の強い解が有限時間に爆発するのはどのような条件下か？
• RQ2 圧力や密度の特異性を含まずに、爆発が速度勾配のみによって特徴づけられるか？
• RQ3 時間に関して $ \|\nabla u\|_{L^\alpha} $ および $ \|u\|_{W^{1,\infty}} $ の可積分性が有限時間爆発を防ぐか？
• RQ4 エリクセン＝レズリー模型の構造が解の正則性および最大存続時間に与える影響は何か？
• RQ5 Beale-Kato-Majda型基準を、液体結晶のような追加の秩序パラメータダイナミクスを有する系に拡張できるか？

主な発見

• 爆発基準が確立された：$ T^* < \infty $ ならば、$ \int_0^{T^*} \|\nabla u\|_{L^\alpha}^\beta + \|u\|_{W^{1,\infty}} \, dt = \infty $ が成り立つ。ここで $ \frac{3}{\alpha} + \frac{2}{\beta} < 2 $ かつ $ \beta \geq 4 $ である。
• 速度勾配条件が成り立つ限り、$ T^* $ までに $ H^2 $、$ W^{1,6} $、および $ H^3 $ ノルムで解が一様に有界である。
• $ t = T^* $ における $ \sqrt{\rho}u_t $ の $ L^2 $-ノルムは有界のまま保たれ、解の拡張に必要な整合性が保証される。
• $ \nabla \rho $ の $ L^6 $-ノルムと $ \nabla^2 u $ の時間的 $ L^2 $-ノルムは一様に有界であり、高階正則性が確認される。
• 背理法により、基準が成り立たない場合、解が $ T^* $ を超えて拡張可能であることが示され、有限時間爆発のための必要条件であることが証明される。
• Huang-Xinの圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する基準が、ディレクター場 $ d $ が速度勾配ノルムによって暗黙的に制御されるより複雑な液晶系に一般化された。