[論文レビュー] A blow-up lemma for approximate decompositions

Jaehoon Kim, Daniela Kühn+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、近似的なグラフ分解のための新しいブロー・アップ補題を導入し、有界次数のグラフを密度の高い準ランダムグラフに辺素に埋め込むことを可能にする。任意の最大次数 $ \Delta $ かつ総辺数が $ (1 - \alpha) \binom{n}{2}p $ 未満である $ n $ 頂点グラフの集合は、$ (\varepsilon, p) $-準ランダムグラフ $ G $ に埋め込むことができ、残余グラフの最大次数が $ \leq 4\alpha pn $ に抑えられる。これは木の埋め込みやオーバーフォルト型分解の結果を拡張する。

ABSTRACT

We develop a new method for constructing approximate decompositions of dense graphs into sparse graphs and apply it to longstanding decomposition problems. For instance, our results imply the following. Let $G$ be a quasi-random $n$-vertex graph and suppose $H_1,\dots,H_s$ are bounded degree $n$-vertex graphs with $\sum_{i=1}^{s} e(H_i) \leq (1-o(1)) e(G)$. Then $H_1,\dots,H_s$ can be packed edge-disjointly into $G$. The case when $G$ is the complete graph $K_n$ implies an approximate version of the tree packing conjecture of Gyárfás and Lehel for bounded degree trees, and of the Oberwolfach problem. We provide a more general version of the above approximate decomposition result which can be applied to super-regular graphs and thus can be combined with Szemerédi's regularity lemma. In particular our result can be viewed as an extension of the classical blow-up lemma of Komlós, Sárkőzy and Szemerédi to the setting of approximate decompositions.

研究の動機と目的

• 密度の高いグラフにおける近似的なグラフ分解のための新しい手法を開発すること、特に古典的なブロー・アップ補題を近似的に最適な埋め込みに拡張すること。
• 木の埋め込みに関する長年の予想とオーバーフォルト型分解に関する予想を、有界次数のグラフに対する近似的なバージョンとして解決すること。
• 完全グラフやランダムグラフの分解を任意の有界次数のグラフ（特に全域的およびほぼ全域的グラフを含む）に一般化すること。
• Szemerédiの正則性に基づく議論に適用可能な、新しいブロー・アップスタイルの補題を用いた、超正則性と近似的な分解を統合する枠組みを確立すること。

提案手法

• 近似的な分解のための新しいブロー・アップ補題を導入し、Komlós–Sárkőzy–Szemerédiの元の結果を近似的に最適な辺カバーに一般化する。
• $ (\varepsilon, p) $-準ランダムグラフを次数および共通近傍条件によって定義し、埋め込みの目的に適した擬似ランダム性を保証する。
• 反復的埋め込みと残余グラフの制御機構を用い、残りのグラフの最大次数が $ \alpha pn $ に比例して有界になるようにする。
• 超正則な二部グラフにこの手法を適用し、Hobbs–Bourgeois–Kasiraj 予想のような二部グラフ設定における近似的な分解を導出する。
• ランダムな等分割と確率的不等式（例：定理 3.2）を用いて、辺の分布を各部分に均衡させ、制御可能な埋め込みを実現する。
• 主結果と正則性補題の技術を組み合わせ、超正則性を介して任意の密度の高いグラフに応用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界次数のグラフは、僅かに未カバーの辺が残る程度に、密度の高い準ランダムグラフに辺素に埋め込むことができるか？
• RQ2 Gyárfás と Lehel の木の埋め込み予想は、完全グラフにおける有界次数の木に対して近似的に成り立つか？
• RQ3 一般の分解枠組みを用いて、有界次数のグラフに対するオーバーフォルト問題を近似的に解けるか？
• RQ4 正則性に基づく設定で近似的な分解を支援する、超正則性版のブロー・アップ補題は存在するか？
• RQ5 この手法は二部グラフに拡張可能であり、Hobbs–Bourgeois–Kasiraj 予想の近似的なバージョンを解けるか？

主な発見

• 任意の $ \Delta \in \mathbb{N} $、$ 0 < p_0, \alpha \leq 1 $ に対して、$ \varepsilon > 0 $ および $ n_0 \in \mathbb{N} $ が存在し、任意の $ n \geq n_0 $ に対して、$ n $ 頂点の $ (\varepsilon, p) $-準ランダムグラフ $ G $ は、$ \Delta(H_\ell) \leq \Delta $ かつ総辺数が $ (1 - \alpha) \binom{n}{2}p $ 未満であるような $ s $ 個のグラフ $ H_1, \dots, H_s $ を埋め込める。
• 総辺数が $ (1 - 2\alpha) \binom{n}{2}p $ 以上であれば、残余グラフ $ J $ の最大次数は $ 4\alpha pn $ 未満となり、近似的に最適な埋め込みが保証される。
• 定数 $ p $ に対して、二項ランダムグラフ $ G_{n,p} $ および完全グラフ $ K_n $ に対して、この結果は漸近的にほとんど確実に成り立つ。これにより、有界次数の木に対する近似的な木の埋め込みが得られる。
• 超正則な二部グラフへの拡張により、総辺数が $ (1 - \alpha)e(G) $ 未満である $ n $ 頂点の二部グラフ（最大次数 $ \leq \Delta $）の近似的な埋め込みが可能になる。
• この手法により、完全二部グラフ $ K_{n-1, \lfloor n/2 \rfloor} $ における有界次数の木に対する Hobbs–Bourgeois–Kasiraj 予想の近似的な解が得られ、$ \Delta(T_i) \leq \Delta $ を満たすすべての木 $ T_{\alpha n}, \dots, T_n $ を埋め込める。
• この枠組みは反復的分解をサポートする：一部のグラフを埋め込んだ後、残余グラフは依然として準ランダムであり、さらに分解可能となる。これにより、やや緩い辺密度条件のもとで完全な分解が可能になる。