[論文レビュー] A Bohl-Bohr-Kadets type theorem characterizing Banach spaces not containing c0

Bálint Farkas|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$c_0$ を含まない分離可能なバナッハ空間に対するBohl-Bohr-Kadets型特徴付けを確立する。分離可能なバナッハ空間 $E$ が $c_0$ を含まないための必要十分条件は、$E$ 上の任意のパワー有界作用素 $T$ と任意のベクトル $x \in E$ に対して、連続する差分の集合 $\{T^{n+1}x - T^n x\}$ の相対コンパクト性が、軌道 $\{T^n x\}$ の相対コンパクト性と同値である、という条件である。ただし、差分の $(I-P)(T^n x - x)$ に対するスペクトル射影条件を満たすものとする。この結果は、古典的なほぼ周期的ベクトルに関する結果を拡張し、半群に対するJacobs–de Leeuw–Glicksberg分解を用いる。

ABSTRACT

We prove that a separable Banach space $E$ does not contain a copy of the space $\co$ of null-sequences if and only if for every doubly power-bounded operator $T$ on $E$ and for every vector $x\in E$ the relative compactness of the sets $\{T^{n+m}x-T^nx: n\in \NN\}$ (for some/all $m\in\NN$, $m\geq 1$) and $\{T^nx:n\in \NN\}$ are equivalent. With the help of the Jacobs--de Leeuw--Glicksberg decomposition of strongly compact semigroups the case of (not necessarily invertible) power-bounded operators is also handled.

研究の動機と目的

• 分離可能なバナッハ空間が、零列空間 $c_0$ のコピーを含まないことを特徴付けること。
• 古典的なBohl–Bohr–Kadets定理（ほぼ周期的関数とその積分に関するもの）を、バナッハ空間上の線形作用素の設定に拡張すること。
• パワー有界作用素に対して、連続する差分 $\{T^{n+1}x - T^n x\}$ の相対コンパクト性が、全軌道 $\{T^n x\}$ の相対コンパクト性を意味する条件を同定すること。
• $c_0$ が存在しない状況において、差分と軌道のコンパクト性の同値性を保証する必要十分条件を、Jacobs–de Leeuw–Glicksberg分解を用いて確立すること。

提案手法

• 強いコンパクト性を持つ半群に対してJacobs–de Leeuw–Glicksberg分解を用い、空間をスペクトル部分空間 $E_{\text{r}}$（再帰的）と安定部分空間 $E_{\text{s}}$（無限遠で消える）に分解する。
• パワー有界作用素 $T$ に関する漸近的ほぼ周期的ベクトルの概念を適用し、その前向き軌道 $\{T^n x\}$ が相対コンパクトであると定義する。
• $E_{\text{r}}$ へのスペクトル射影 $P$ を用い、$n \to \infty$ のときの $(I-P)(T^n x - x)$ の収束を分析し、ほぼ周期的成分と一時的成分を分離する。
• 作用素 $T$ の連続性と恒等式 $T^{n+m}x - T^n x = \sum_{k=0}^{m-1} T^k (T^n x - T^{n-1}x)$ を用い、高階の差分のコンパクト性と一次の差分のコンパクト性を関連付ける。
• Basit および Ruess–Summers によるほぼ周期的関数とその積分に関する結果を応用し、作用素論的アナロジーの動機づけを行う。
• 反例を $\mathrm{c}$ および $\mathrm{c}_0$ で構成し、$c_0$-フリー条件とスペクトル射影条件の必要性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間 $E$ とパワー有界作用素 $T$ に対して、集合 $\{T^{n+1}x - T^n x\}$ の相対コンパクト性が、軌道 $\{T^n x\}$ の相対コンパクト性と同値となる条件は何か？
• RQ2 $c_0$ を含まない分離可能なバナッハ空間 $E$ において、作用素の差分と軌道のコンパクト性の関係はどのように関連するか？
• RQ3 Jacobs–de Leeuw–Glicksberg分解は、パワー有界作用素に対する軌道のコンパクト性を特徴付ける際に果たす役割は何か？
• RQ4 古典的なBohl–Bohr–Kadets定理（ほぼ周期的関数の積分に関するもの）を、離散的で作用素論的な設定に一般化できるか？
• RQ5 $ (I-P)(T^n x - x) \to 0 $ が、$c_0$ が存在しない状況で差分と軌道のコンパクト性の同値性に必要かつ十分であるか？

主な発見

• 分離可能なバナッハ空間 $E$ が $c_0$ を含まないための必要十分条件は、$E$ 上の任意のパワー有界作用素 $T$ と任意の $x \in E$ に対して、$(I-P)(T^n x - x)$ が $n \to \infty$ のときゼロに収束する条件下で、集合 $\{T^{n+1}x - T^n x\}$ の相対コンパクト性が $\{T^n x\}$ の相対コンパクト性を意味することである。
• $c_0$ を含まないバナッハ空間では、すべての $m \geq 1$ に対して、$\{T^{n+1}x - T^n x\}$ と $\{T^{n+m}x - T^n x\}$ のコンパクト性が同値であることが成り立つ。これは、二重パワー有界作用素に対して成り立つ結果を一般化する。
• $\mathrm{c}$ において、$\{T^{n+m}x - T^n x\}$ が $m \geq 2$ のとき相対コンパクトであるが、$\{T^{n+1}x - T^n x\}$ が相対コンパクトでないような二重パワー有界作用素 $T$ が存在する。これにより、$c_0$-フリー条件の必要性が示される。
• $E_{\text{r}}$ へのスペクトル射影 $P$ は本質的である。$(I-P)(T^n x - x)$ の収束により、一時的成分が消えることが保証され、コンパクト性条件の同値性が成立する。
• この結果は、$c_0$ が存在しない空間において、差分のほぼ周期性が軌道のほぼ周期性を意味することを特徴付ける、Kadetsの定理（バナッハ空間値関数の積分可能性に関する）を一般化する。
• $\mathrm{c}_0$ および $\mathrm{c}$ における反例により、$c_0$-フリー条件が、スペクトル射影条件のもとで、差分と軌道のコンパクト性の同値性に対して必要かつ十分であることが確認される。