[論文レビュー] A bound for Castelnuovo-Mumford regularity by double point divisors

Sijong Kwak, Jinhyung Park|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、内投影および外投影からの二重点除集合を用いて、滑らかで射影的多様体のCastelnuovo-Mumford正則性の鋭い上限を確立する。非退化な滑らかな多様体 X ⊆ Pr に対して、次数 d および余次元 e に対して reg(O_X) ≤ d − e を証明し、極値の場合を分類し、消失定理と一般化されたMumford型の議論を二重点除集合に応用することで、既知の上限を改善する。

ABSTRACT

Let $X \subseteq \mathbb{P}^r$ be a non-degenerate smooth projective variety of dimension $n$, codimension $e$, and degree $d$ defined over an algebraically closed field of characteristic zero. In this paper, we first show that $ ext{reg} (\mathcal{O}_X) \leq d-e$, and classify the extremal and the next to extremal cases. Our result reduces the Eisenbud-Goto regularity conjecture for the smooth case to the problem finding a Castelnuovo-type bound for normality. It is worth noting that McCullough-Peeva recently constructed counterexamples to the regularity conjecture by showing that $ ext{reg} (\mathcal{O}_X)$ is not even bounded above by any polynomial function of $d$ when $X$ is not smooth. For a normality bound in the smooth case, we establish that $ ext{reg}(X) \leq n(d-2)+1$, which improves previous results obtained by Mumford, Bertram-Ein-Lazarsfeld, and Noma. Finally, by generalizing Mumford's method on double point divisors, we prove that $ ext{reg}(X) \leq d-1+m$, where $m$ is an invariant arising from double point divisors associated to outer general projections. Using double point divisors associated to inner projection, we also obtain a slightly better bound for $ ext{reg}(X)$ under suitable assumptions.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的多様体に対するEisenbud-Goto正則性予想を解消し、reg(O_X) ≤ d − e を証明すること。
• 正則性上限において等号が成立する極値および次極値のケースを分類すること。
• Mumford, Bertram-Ein-Lazarsfeld, およびNomaの結果を改善し、滑らかな多様体に対して reg(X) ≤ n(d − 2) + 1 を確立すること。
• 内投影および外投影からの不変量を用いて、二重点除集合に一般化されたMumfordの手法を一般化し、有効な上限を得ること。
• 滑らかな場合において正則性予想を正規性問題に還元する枠組みを提供すること。

提案手法

• delta次数 ∆(X, H) を用いて有効な消失境界を導出：k ≥ ∆(X, H) + 1 ならば、i > 0 に対して H^i(X, O_X((k−i)H)) = 0 が成り立つ。
• 外投影および内投影からそれぞれ D_out および D_in を定義し、重要な線分束を構成する。
• 適切な仮定の下で D_out = −K_X + (d − n − e − 1)H および D_in = −K_X + (d − n − e − 1)H が半正定であることを証明する。
• 特異性の幾何学的性質と接続公式を用いて、ℓ ≤ 0 に対して制限写像 H^0(Pr, I_D|Pr(d−e−2+ℓ)) → H^0(X, I_D|X(d−e−2+ℓ)) の全射性を確立する。
• 基点の集合および除集合のネフ性から導かれる不変量 m および m′ を導入し、乗法写像を用いて正則性を有界化する。
• 一般化されたMumfordの補題を適用：ある乗法写像が全射ならば、X は (d−e−2+k)-正規であり、最終的な正則性上限が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな射影的多様体に対して、次数 d および余次元 e の関数として reg(O_X) の鋭い上界は何か？
• RQ2 どの滑らかな多様体が正則性の最大値 reg(O_X) = d − e を達成するか？ その幾何的特徴は何か？
• RQ3 正則性予想は滑らかな場合において正規性問題に還元可能か？ もしそうならば、どのように還元可能か？
• RQ4 内投影および外投影からの二重点除集合は、正則性に対する有効な上限をどのように寄与するか？
• RQ5 delta次数 ∆(X, H) は、構造層の正則性を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、任意の非退化な滑らかな射影的多様体 X ⊆ Pr に対して、次数 d および余次元 e に対して reg(O_X) ≤ d − e を証明する。
• 等号 reg(O_X) = d − e が成り立つのは、X が超曲面であるとき、または d = e+1 もしくは e+2 で線形正規であるときである。
• 次極値のケース reg(O_X) = d − e − 1 は、極値ケースにおける同型射影、d = e+3 で e ≥ 2 である線形正規多様体、または型 (2,3) の完全交差であるときに限り成立する。
• 滑らかな多様体に対して、reg(X) ≤ n(d − 2) + 1 という上限が確立され、Mumford, Bertram-Ein-Lazarsfeld, およびNomaの結果を改善する。
• 内投影を用いて、基点自由性および全射性の仮定の下で、reg(X) ≤ d − 1 + m′ という精密化された上限が得られ、ここで m′ は二重点除集合 D_in から得られる不変量である。
• 主結果として、すべての ℓ ≥ m′ に対して reg(X) ≤ d − e − 2 + ℓ が成り立ち、これと定理Bを組み合わせることで、完全な正則性上限が得られ、定理Eが証明される。